三角函数之比

除了基本三角函数（正弦和余弦），其他有用的函数可以定义为它们的比率。具体而言，切线（tan）、余割（csc）、正割（sec）和余切（cot）函数定义为

$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}、~~\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}、~~\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}、~\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin theta}。$

其中,，切线是最有趣的，因为有一个自然的几何解释和满足几个额外的属性。

考虑下面的直角三角形：

关于角度的边 $\西塔$是

$\开始{aligned}a&=\text{nexting}\\b&=\text{antivated}\\c&=\text{斜边}\结束{对齐}$

然后基本三角函数定义为

$\begin{aligned}\sin\theta&=\frac{（\text{position}}}{（\text{斜边}}}}=\frac{b}{c}\\\ cos\theta&=\frac{（\text{positional}}}}{（\text{positional}}}}}}=\frac{a}{c}\\\\\\ tan theta&=\frac{（\text{position position frac}}}}{\结束{对齐}$

我们还具有以下交互功能

$\开始{aligned}\csc\theta&=\frac{1}{\sin\theta}\\\ sec\theta&=\frac{1}{\cos\theta}\\\ cot\theta&=\frac{1}{\tan\theta}\结束{对齐}$

例如 $\cot\theta$可以表示为

$\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}=\frac{1}{\frac{b}{a}}=\frac{a}{b}=\frac{（\text{nexted}}}}}{（\text{abistent}}}）。$

如果斜边和对边的长度是 $c=5$和 $b=3$，分别在下面的直角三角形中，是什么 $\cos\theta？$

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因为斜边的长度是5，对边的长度是3，根据毕达哥拉斯定理，相邻边的长度是

$\开始{对齐}（\text{斜边}）^2&=（\text{对边}）^2+（\text{邻边}）^2\\5^2&=3^2+（\text{邻边}）^2\\右箭头（\text{邻边}）&=4\结束{对齐}$

因此 $\cos\theta=\dfrac{（\text{nextant}}}{（\text{斜边}}}}=\frac{4}{5}.\\u\广场$

如果 $\sin\theta=\frac{1}{2}$和 $\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{3}$在直角三角形中，那么什么是 $\tan\theta？$

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自从 $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}，$

$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{\\，\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}}=\frac{\sqrt{3}{2}\广场$

如果 $\cot\theta=\frac{1}{3}$在直角三角形中，什么是三角形 $\tan\theta？$

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自从 $\坦西塔$和 $\cot\theta$是彼此的互惠，

$\tan\theta=\frac{1}{\cot\theta}=\frac{1}{\\frac{1}{3}\}=3\广场$

如果 $\tan\theta+\cot\theta=2，$是什么 $\sin\theta\cdot\cos\theta？$

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我们有

$\开始{aligned}\tan\theta+\cot\theta&=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}+\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\\\\&=\frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{\sin theta\cdot\cos\theta}\qquad（1）\end{aligned}$

另外，请注意 $\sin^2\theta+\cos^2\theta$可获得如下信息：

$\{{对齐{{{{对齐}}}开始开始{{{{{对齐}}}}}{{{{{对齐}}}}}{{{{{学校学校}}}}}}}学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校^2}=1\qquad（2）\end{aligned}$

然后从 $(1)$和 $(2) ,$ $\sin\theta\cdot\cos\theta$可获得如下信息：

$\开始{aligned}\tan\theta+\cot\theta&=\frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{\sin\theta\cdot\cos\theta}\\2&=\frac{1}{\sin\theta\cdot\cos\theta}\\右箭头\sin theta\cdot\cos\theta&=\frac{1}{2}\方形\结束{对齐}$

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