排名

在线性代数,排名矩阵的维数就是矩阵的维数行空间或列空间。矩阵的行空间和列空间的维数相等，这是一个重要的事实。

让 $一个$是一个矩阵。如果 $R (A)$的行空间 $一个$和 $C(一个)$的列空间 $一个$,然后 $\ \昏暗\大(R (A)大)= \昏暗\大(C (A) \大)$。这个量叫做排名的 $一个$,表示 ${rk} \文本(A)$。

直观地说，秩度量的是由矩阵表示的线性变换离存在的距离单射或满射。假设 $一个$是一个 $米$——- - - - - - $n$表示线性变换的矩阵 $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$。自 $C (A) = \文本{Im} (T)$，等级 $一个$是介于 $0$和 $米$, = $米$正是当 $T$是满射。类似的解释存在于 $R (A)$在注入能力方面:排名 $一个$是介于 $0$和 $n$, = $n$正是当 $T$是单射。

让 $一个$是一个 $米$——- - - - - - $n$矩阵，表示线性变换 $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$。我们定义的行排名的 $一个$是 $\ \昏暗\大(R (A)大)$，同样地列秩 $\昏暗\大(C (A) \大)$。先天的在美国，这些数字不一定相等，但我们将证明它们实际上是相等的。

假设的行秩 $一个$是 $r$。我们的方法是生产 $r$线性无关向量 $C(一个)$。这将证明 $\ \昏暗\大(C (A)大)\通用电气\昏暗\大(R (A) \大)$。通过对转置矩阵应用相同的论证 $一个$，则得到逆不等式 $\ \昏暗\大(R (A)大)\通用电气\昏暗\大(C (A) \大)$，因此产生了结果;这是可行的，因为取转置简单地交换行和列空间。

怎样才能生产 $r$线性无关向量 $C(A) = text{Im}(T) \子集\mathbb{R}^m?$一个可能的方法是选择 $r$线性无关向量 $R \ mathbb {} ^ n$，然后应用 $T$对他们每个人，希望结果 $r$向量 $R \ mathbb {} ^ m$它们是线性无关的。为了确保这一工作，集合 $r$线性无关向量 $R \ mathbb {} ^ n$应该有一些我们可以使用的附加结构;他们不能只是 $r$随机向量。但是有一种很自然的 $r$线性无关向量 $R \ mathbb {} ^ n$:行空间的一组基 $R (A) !$

因此,让 $x_1、\ ldots x_r$成为…的基础 $R (A)$。我们必须证明 $Tx_1 \ ldots Tx_r$是线性无关的。假设他们没有;还有 $为c_i \中\ mathbb {R}$(不是全部为零)这样

$0 = \ sum_ {i = 1} ^ {r}为c_i Tx_i = T (c₁x_1 + \ cdots + c_r x_r)。$

通过构造，我们知道 $V = c_1 x_1 + \cdots + c_r x_r$在行空间中 $一个$。此外,由于 $电视= 0$，本文中所做的计算行和列空间意味着 $v$正交于每一行 $一个$。但 $v$是这些行的线性组合吗 $v$正交于自身;因此, $v = 0$。这意味着 $C_1 x_1 + \cdots + c_r x_r = 0$，这是荒谬的，因为它是线性独立的集合 $\ {x_i \}$。 $_ \广场$

这个矩阵的秩是多少

$A = begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3& -1 & 2 \end{pmatrix}?$

---

的前两列 $一个$是线性无关的，因为它们不是彼此的倍数。因此, $C(A) = mathbb{R}^2 \implies \text{rank}(A) = 2$。 $_ \广场$

让 $一个$是一个 $n$——- - - - - - $n$方阵。证明 $一个$有排名 $n$当且仅当 $一个$是可逆的。

---

$一个$有排名 $n$当且仅当行空间 $R (A)$= $R \ mathbb {} ^ n$。但是,内核的 $一个$就是行空间的正交补吗 $R(A) = mathbb{R}^n \iff \text{Ker}(A) = {0\}$。我们知道 $一个$是可逆的当且仅当它的核为零时，所以我们做完了。 $_ \广场$