毕达哥拉斯三星

毕达哥拉斯的三元组是三个整数的集合，它满足了它们是右角度三角形的侧面长度的属性（具有斜边的第三个数字）。

$（3,4,5）$是毕达哥仑三重三级最受欢迎的例子。如果将此数量乘以整数，结果也将是毕达哥仑三倍。

如果 $（a，35,37）$是一种毕达哥兰人的三倍，是什么 $一个吗?$

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自 $（a，35,37）$是一个勾股定理，下面的定理必须成立:

$\ begin {对齐} a ^ 2 + 35 ^ 2＆= 37 ^ 2 \\ a ^ 2＆= 37 ^ 2-35 ^ 2 \\＆= 144。\结束{对齐}$

由于只有正整数计数，答案是 $= 12。$ $_\正方形$

以下哪项是不是毕达哥拉斯三倍？

$开始\{数组}{c} & & \ textbf{。}(5, 12, 13) &&\textbf{B。}(7, 24, 25) &&\textbf{C。}(9, 40, 41) &&\textbf{D。}(9, 60, 61) \end{array}$

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我们有

$开始{对齐} 5 ^ 2 + 12 ^ 2＆= 25 + 144 = 169 = 13 ^ 2 \\ 7 ^ 2 + 24 ^ 2＆= 49 + 576 = 625 = 25 ^ 2 \\ 9 ^ 2 + 40 ^ 2＆= 81 + 1600 = 1681 = 41 ^ 2 \\ 9 ^ 2 + 60 ^ 2＆= 81 + 3600 = 3681 \ ne 3721 = 61 ^ 2。\结束{对齐}$

因此，答案是 $\ textbf {d}。$ $_\正方形$

如果毕达哥兰三联的最大数量是 $17，$这三个数中最小的数是多少?

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首先，如果第二大数字是 $16，$我们需要 $^ 17 - 18 ^ 2 = 289 - 256 = 34$是一个广场，它不是。

接下来，如果第二大数字是 $15，$我们需要 $17 ^男童^ 2 = 289 - 225 = 64$是一个广场，它是因为 $64 = 8 ^ 2。$因此，我们有 $8 ^ 2 + 15 ^ 2 = 17 ^ 2。$

因此，毕达哥拉斯三联中最小的数字是 $8。$ $_\正方形$

生成三元组始终感兴趣的数学家，欧几里德提出了一种用于生成毕达哥拉斯三元的公式。原始毕达哥兰三星是毕达哥兰三星 $A，B$和 $C$这样 $A，B$和 $C$是cop。但请注意，此公式生成所有原始三元组但并非所有非原始三元组。欧几里德为我们提供了以下公式：

$\ begin {对齐} a＆= m ^ 2 - n ^ 2 \\ b＆= 2mn \\ c＆= m ^ 2 + n ^ 2，\结束{对齐}$

在哪里 $m$和 $N$是通常称为参数的任意两个正整数。如果我们想要生成所有的毕达哥拉斯三元组，我们可以引入第三个参数 $K.$我们的公式：

$\ begin {对齐} a＆= k \ big（m ^ 2 - n ^ 2 \ big）\\ b＆= k（2mn）\\ c＆= k \ big（m ^ 2 + n ^ 2 \ big）。\结束{对齐}$

您还可以使用公式生成三级

$\ begin {对齐} a＆= m ^ 2 -1 \\ b＆= 2m \\ c＆= m ^ 2 + 1，\结束{对齐}$

在哪里

$\ begin {对齐} a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2。\结束{对齐}$

原始的勾股定理 $（3,4,5）$可以说是最著名和最常用的。发现参数 $m$和 $N$用于欧几里德的公式以产生此三倍。

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从...开始 $\ begin {对齐} a＆= 3 = m ^ 2 - n ^ 2 \\ b＆= 4 = 2mn \\ c＆= 5 = m ^ 2 + n ^ 2。\结束{对齐}$如果我们把方程1和3相加，我们得到 $\ begin {对齐} a + c = 8＆= 2m ^ 2 \\ m＆= 2，\结束{对齐}$代入就得到 $n = \ frac {4} {2（2）} = 1。$

参数 $m$和 $N$因此分别为2和1。 $_\正方形$

另一个着名但非原始的毕达哥兰三倍是 $(6、8、10)$。该参数的值是多少？ $K.$需要生成这个三元组吗?

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注意 $(6、8、10)$是的倍数吗 $（3,4,5）$。所有术语才乘乘以两个。因此 $k = 2$和 $m$和 $N$仍 $2$和 $1，$分别。 $_\正方形$

什么是原始三元组，使得三元组中最小的是什么 $a = 20？$

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遵守这一点 $a = 20 = 2mn$有两个选择记住这一点 $m> n。$

那么如果 $n = 1，m = 10，$ $a = 2mn = 20，b = m ^ 2-n ^ 2 = 99，c = m ^ 2-n ^ 2 = 101 \意味着20 ^ 2 + 99 ^ 2 = 101 ^ 2。$如果 $n = 2, m = 5,$ $a = 2mn = 20，b = m ^ 2-n ^ 2 = 21，c = m ^ 2-n ^ 2 = 29 \意味着20 ^ 2 + 21 ^ 2 = 29 ^ 2。$

因此，三元组是 $(99, 101)$和 $（20,21,29）。$ $_\正方形$

人们可能会想知道为什么毕达哥拉斯三星的这个参数化是如此有用。人们可以轻松地考虑不同数量的变量的无限数参数化。答案是因为这一个允许我们仅使用原始的毕达哥仑三族 $2$变量。在尝试生成大量三分之一的时候，这在方便。一个不必检查每个可能的整数 $A，B$和 $C$要获得所有毕达哥兰三星，而是可以检查所有可能的 $m$和 $N$然后通过所需的值乘以三元 $K.$。