矩形的性质

A.矩形是一个有四个直角的平行四边形。矩形比一般情况下的平行四边形更容易处理。

a的基本定义矩形详情如下。

A.矩形是一个内角都相等的四边形。

因为a的内角之和多边形是 $360 ^ \保监会$因此，每个内角都是直角。

财产1。矩形的每个内角是 $90^\circ$.

由于内角对边相等，因此所有矩形都是相等的平行四边形，其属性适用于矩形：

财产2。矩形的对角线彼此对分。

财产3。矩形的对边是平行的。

财产4。矩形的对边相等。

财产5。边长为的矩形 $A.$和 $B$有面积 $a b\sin{90^\circ}=ab。$

财产6。边长为的矩形 $A.$和 $B$有周长 $2a + 2b$.

最大面积。假设矩形的周长固定在 $P$，但两边，长度 $x$和 $P/2-x$都可以自由改变。价值是多少 $x$矩形的面积最大吗？

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地区 $A.$矩形的值是 $A=x（P/2-x）$. 寻找价值 $x$的 $A.$是最大值，我们完成广场通过加入一些常数 $C$双方:

$A + c = P x / 2 - x^2 + c。$

选择 $c=P^2/16$允许我们将右边分解成完全平方数:

$A+P^2/16=-（x-P/4）^2，$

这让我们想到

$A=P^2/16-（x-P/4）^2。$

显然，最大值 $-（x-P/4）^2$为零，因此 $P^2/16-（x-P/4）^2$是 $P^2/16$. 这意味着 $x=P/4$. 换句话说，给定一个固定的总周长，当两条边的长度相同（每一条都等于总周长的四分之一）时，矩形的面积最大。

因为每个内角都是直角，毕达哥拉斯定理允许计算对角线的长度。根据对称性，两条对角线的长度必须相等。

财产7。边长为的矩形的每个对角线的长度 $A.$和 $B$是 $\sqrt{a^2+b^2}。$

假设矩形的每一条对角线都有长度 $D$而周界是 $P$. 找到那个区域 $A.$的矩形。

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让 $A.$和 $B$是矩形的边长。然后

$\开始{对齐}^ 2 + b ^ 2 D & = ^ 2 \ \ a + b & = P / 2。结束\{对齐}$

将第二个方程平方得到

$a^2 + 2ab + b^2 = P^2 / 4。$

然后减去第一个方程

$2ab=P^2/4-D^2，$

或

$A=ab=\dfrac{P^2-4D^2}{8}。$

假设矩形的每一条对角线都有长度 $D$而该地区 $A.$. 找到周界 $P$的矩形。

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根据前面示例中的结果，我们得到

$P^2=8A+4D^2，$

所以

$P=\sqrt{8A+4D^2}。$

财产8。矩形的两条对角线长度相同。

矩形 $ABCD$有长度 $AB=3$和 $公元前= 4$. 这条路有多长 $屋宇署$?

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使用属性7， $AC=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$知道 $AC=BD$, $BD=\boxed{5}$

因为对角线的长度相等，并且彼此对分，所以矩形的每个顶点必须与对分点等距 $O$. 因此，存在一个外接圆通过 $O$通过矩形的四个顶点的。

房地产9。让 $O$是矩形对角线的交点。存在一个以点为圆心的外圆 $O$其半径等于对角线长度的一半。

财产10。矩形的每个对角线是其外圆的直径。

以圆弧和矩形为边界的区域。有边长的长方形 $A.$和 $B$如图所示进行了限定。确定深蓝色部分的面积。

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我们可以认为暗蓝色区域等于弧内的区域，它遮蔽阴影区域减去弧下的第四的矩形（三角形楔），而不是暗蓝色区域的一部分。

深蓝色区域的边界弧被一个角度所包围 $2θ$( $\西塔$中定义的弧度)，在哪里 $\tan{\theta}=a/b$. 因此，弧下面积由下式给出：

$\pi R^2\frac{2\theta}{2\pi}=\theta（a^2+b^2）/4，$

哪里 $R=\sqrt{a^2+b^2}/2$为圆的半径。最后，减去矩形面积的四分之一，得到的总深蓝色区域为

$\frac{1}{4}\左[（a^2+b^2）\arctan（a/b）-ab\右]。$