广场的差异

这两个方格的差异身份是从另一个平方数减去的平方数，以以形式得到沉积

$^ 2-b ^ 2 =（a + b）（a-b）。$

我们还将证明这种身份乘以多项式在左侧并等于右侧。这种身份通常用于代数在应用于整数分解的应用中，二次筛子是有用的代数分解， 等等。

两个方格身份的差异是 $（a + b）（a-b）= a ^ 2-b ^ 2$。我们可以通过将左侧的表达式乘以乘以右侧表达式来证明这种身份。这是这种身份证明。

让我们从表达的左侧开始。我们有

$\begin{aligned} (a+b)(a-b) &= a(a-b) + b(a-b) \\ &= a^2 - ab + ab - b^2 \\ & = a^2 - b^2, \end{aligned}$

这等于身份的右侧。因此证明。 $_\正方形$

本节包含用于在使用方块身份差异的使用情况下提升理解的示例和问题： $a ^ 2-b ^ 2 =（a + b）（a-b）$。

以下是学习身份使用的示例。

改写 $5 ^ 2-2 ^ 2$作为产品。

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我们有

$5 ^ 2-2 ^ 2 =（5-2）\ times（5 + 2）= 3 \ times 7. \ _ \ Square$

计算 $299 \ times 301$。

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您可以通过使用计算器来蛮力对此问题的答案，但我们有更甜的方式。我们可以应用两个方块的差异。

起初我们可能会考虑使用长期乘法方法，但它浪费时间，当然是无聊。注意 $299 = 300-1$和 $301 = 300 + 1$， 所以

$\ begin {对齐} 299 \ times 301＆=（300-1）（300 + 1）\\＆= 300 ^ 2-1 ^ 2 \\＆= 89999。\ _ \ square \结束{对齐}$

表明，任何奇数都可以写入两个方格的差异。

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让奇数是 $n = 2b + 1$， 在哪里 $B.$是一个非负整数。然后我们有

$n = 2b + 1 = [（b + 1）+ b] [（b + 1） - b] =（b + 1）^ 2 - b ^ 2。\ _\正方形$

什么是

$234567 ^ 2-234557 \ times 234577 \？$

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使用与上面的示例相同的方法，

$\ BEGIN {对齐} 234567 ^ 2-234557 \倍234577＆= 234567 ^ 2- \大（234567 ^ 2-10 ^ 2 \大）\\＆= 234567 ^ 2-234567 ^ 2 + 10 ^ 2 \\＆=100. \ _ \ square \结束{对齐}$

解决以下问题：

1. 由于两种因素不同 $2B.$，因素总是具有相同的平等。那是，如果 $A-B.$甚至那么 $A + B.$也必须是偶数，所以产品已被四分开。或者两者也不是2，所以产品是奇数。这意味着倍数为2但不是4的数字不能表示为2个方格的差异。

2. 这两个方块的两个差异的产物本身就是两个方块的差异以两种不同的方式：

$\begin{array} { l l l } \left(a^2-b^2\right)\left(c^2-d^2\right) &= (ac)^2-(ad)^2-(bc)^2+(bd)^2 \\ &= (ac)^2-(ad)^2-(bc)^2+(bd)^2+2abcd-2abcd \\ &= (ac)^2+2abcd+(bd)^2-\left[(ad)^2+2abcd+(bc)^2\right] &= (ac+bd)^2 - (ad+bc)^2 \\ &= (ac)^2-2abcd+(bd)^2-\left[(ad)^2-2abcd+(bd)^2\right] &= (ac-bd)^2 - (ad-bc)^2. \\ \end{array}$

本节中的示例和问题有点难以提高解决问题的技能。让我们试一试。

以下是要通过的例子。

简化

$\左（1- \ frac {1} {2 ^ 2} \右）\ left（1- \ frac {1} {3 ^ 2} \右）\ left（1- \ frac {1} {4 ^ 2} \右）\ cdots \ left（1- \ frac {1} {n ^ 2} \右）。$

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这是一个非常直接地应用本文中提到的身份。我们有

$\ begin {对齐} \ left（1- \ frac {1} {2 ^ 2} \右）\ left（1- \ frac {1} {3 ^ 2} \右）\ cdots \ left（1- \ frac{1} {n ^ 2} \右）＆= left（1- \ frac {1} {2} \右）\ left（1+ \ frac {1} {2} \右）\左（1-\ frac {1} {3} \右）\ left（1+ \ frac {1} {3} \右）\ cdots \ left（1- \ frac {1} {n} \右）\ left（1+\ frac {1} {n} \右）\\＆= \ frac {1} {2} \ cdot \ cdot \ frac {3} {2} \ cdot \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {4}{3} \ cdots \ frac {n-1} {n} \ cdot \ frac {n + 1} {n}。\结束{对齐}$

请注意，从第二个术语到的产品 $（n-1）^ \ text {th}$术语等于1，因此最终产品是 $\ frac {n + 1} {2n}$。 $_\正方形$

简化 $\左（\ sqrt5 + \ sqrt6 + \ sqrt7 \右）\ left（\ sqrt5 + \ sqrt6- \ sqrt7 \右）\ left（\ sqrt5- \ sqrt6 + \ sqrt7 \右）\ left（ - \ sqrt5 + \ sqrt6 + \ sqrt7 \ rite）。$

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我们可以选择扩展它，但这是易于强化而且非常出错。让我们有身份解决这个问题。我们有

$\ begin {squiped} \ big（\ sqrt5 + \ sqrt6 + \ sqrt7 \ big）\ big（\ sqrt5 + \ sqrt6- \ sqrt7 \ big）＆= \ big（\ sqrt5 + \ sqrt6 \ big）^ 2- \ big（\ sqrt7\ big）^ 2 \\＆= 5 + 6 + 2 \ sqrt {30} -7 \\＆= 4 + 2 \ sqrt {30}。\结束{对齐}$

同样，最后两个术语的产品是

$\ begin {seconaled} \ big（\ sqrt5- \ sqrt6 + \ sqrt7 \ big）\ big（ - \ sqrt5 + \ sqrt6 + \ sqrt7 \ big）＆= \ left（\ sqrt7 + \ big（\ sqrt5- \ sqrt6 \ big）\右）\左（\ sqrt7- \ big（\ sqrt5- \ sqrt6 \ big）\右）\\＆= - 4 + 2 \ sqrt {30}。\结束{对齐}$

最终产品是 $左（4 + 2 \ SQRT {30} \右）\左（-4 + 2 \ sqrt {30} \右）= 4（30）-16 = 104。$ $_\正方形$

尝试自己的以下问题。

• 因子多项式

• 应用完美的方形身份

• 应用完美的多维数据集身份

• 简化理性表达式