应用完美的方形身份

这完美的广场形式 $（A + B）^ 2$和 $（a-b）^ 2$在代数中出现了很多。我们将审议如何在下面的示例中扩展它们，但您还应该花一些时间在内存中存储这些形式，因为你经常看到它们。

扩张 $（A + B）^ 2$。

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我们有

$\ begin {对齐}（a + b）^ 2＆=（a + b）（a + b）\\＆= a（a + b）+ b（a + b）\\＆= a ^ 2 + ab+ ba + b ^ 2 \\＆= a ^ 2 + 2ab + b ^ 2。\ _ \ square \ END {对齐}$

扩张 $（a-b）^ 2$。

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我们有

$\begin{aligned} (a-b)^2 &= (a-b)(a-b) \\ &= a(a-b) - b(a-b) \\ & = a^2 - ab - ba +b^2 \\ &= a^2 - 2ab +b^2.\ _\square \end{aligned}$

扩张 $（x + 2）^ 2$。

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我们有

$\ begin {对齐}（x + 2）^ 2＆=（x + 2）（x + 2）\\＆= x（x + 2）+ 2（x + 2）\\＆= x ^ 2 + 2x+ 2x +4 \\＆= x ^ 2 + 4x +4。\ _ \ Square \ End {对齐}$

对于这些问题，您需要识别完美的方形形式，以便快速解决它。

评估 $73 ^ 2 + 2 \ times 27 \ times 73 + 27 ^ 2$。

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观察到 $a = 73，b = 27$， 我们获得 $a ^ 2 + 2 \ times b \ times a + b ^ 2 =（a + b）^ 2 = 100 ^ 2 = 10000$。 $_ \正方形$

修改 $n ^ 4 + 4$。

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这不是一个完美的广场。如果我们试图完成广场，我们看到我们需要这个词 $4 n ^ 2$。所以，让我们添加并减去它以获得

$n ^ 4 + 4n ^ 2 + 4 - 4n ^ 2 =（n ^ 2 + 2）^ 2 - 4 n ^ 2。$

我们现在申请两个方格标识的差异，得出结论

$（n ^ 2 + 2）^ 2 - 4 n ^ 2 =（n ^ 2 + 2）^ 2 - （2n）^ 2 =（n ^ 2 + 2 + 2n）（n ^ 2 + 2 - 2n）。\ _\正方形$

上述分解被称为Sophie-ermain身份：

$n ^ 4 + 4 =（n ^ 2 + 2n + 2）（n ^ 2 - 2n + 2）。$