皮克定理

皮克定理提供一种在端点具有整数顶点的平面中查找多边形区域的方法。

格点坐标均为整数的点，例如 $(1、2),(11)$，及 $(0, 5)$. 所有晶格点的集合形成栅格。A.格子多边形是由顶点均为晶格点的直线构成的形状，Pick定理给出了晶格多边形面积的公式。

首先，请注意，对于任何晶格多边形 $P$，多边形的边界边上包含一些晶格点 $($包括作为的顶点的晶格点 $（P）$并且可能在其内部包含一些晶格点（不包括边界上的点）。让

$\开始{aligned}B（P）&=\mbox{多边形边界上的点数}\\I（P）&=\mbox{多边形内部的点数}\结束{对齐}$

皮克定理

让 $P$是一个格子多边形，让 $B（P）$是多边形边界上的点，让 $I（P）$是多边形内部的点数。然后

$（\mbox{多边形面积}P）=I（P）+\frac{1}{2}B（P）-1。$

请注意，皮克定理适用于任何多边形，不只是凸多边形。

对于矩形 $R$长度 $L$身高 $H$有 $B（R）=2l+2h$沿矩形边界的点，以及 $I(R) = (l-1)(h-1) = lh - l- h + 1$矩形内部的点。应用Pick定理给出

$\开始{aligned}\mbox{Area}（R）&=I（R）+\frac{1}{2}B（R）-1\\&=lh-l-h+1+\frac{1}{2}（2l+2h）-1\\&=lh-l-h+1+l+h-1\\\&=lh\结束{对齐}$

如果没有匹克定理，我们可以通过将晶格多边形分解成三角形来计算晶格多边形的面积，利用正弦法则计算每个三角形的面积，然后将得到的三角形面积相加得到晶格多边形的面积。作为一个强大的工具，鞋带定理可以在给定坐标的情况下找到任意图形的面积。匹克定理给出了一种不需要执行所有这些计算就能找到晶格多边形面积的方法。匹克定理还暗示了以下有趣的推论:

晶格多边形的面积始终为整数或半整数。

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证明：根据匹克定理，格子多边形的面积 $P$是由 $\mbox{Area}（P）=I（P）+\frac{1}{2}B（P）-1。$在晶格多边形中，多边形内部的点数 $P$以及边界上的点数 $P$都是整数。然后 $\mbox{Area}（P）=I（P）+\frac{1}{2}B（P）-1$是一个整数，如果 $B（P）$为偶数且为半个整数，如果 $B（P）$这很奇怪。 $_\方格$

把等边三角形画成格子多边形是不可能的。

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证明：假设我们可以绘制一个等边三角形，作为具有晶格顶点的晶格多边形 $A.$, $B$和 $C$边长 $s$. 通过距离公式和勾股定理, $s^2$表示这两个顶点之间距离的平方，必须为整数。还要注意，等边三角形的面积可以表示为 $\text{Area}=\frac{s^2\sqrt3}4$，因此该地区一定是不合理的。

另一方面，该区域 $\三角形ABC$根据前面的定理，面积必须是一个整数或半个整数，这意味着面积必须是有理的，这是一个矛盾。因此，不可能将等边三角形绘制为晶格多边形。 $_\方格$

我们可以通过以下一系列步骤来证明这一点：

1. 对于边平行于轴的矩形来说，这是事实：这是显而易见的。一 $a \ b$矩形有 $2 + 2 b$边界上的点， $（a-1）（b-1）$内部的点，以及 $（a-1）（b-1）+\frac{1}{2}（2a+2b）-1=ab$.
2. 对于底面平行于轴线的直角三角形也是如此：我们可以将三角形加倍，形成一个矩形，并跟踪斜边上的点。
3. 对于任意三角形也是如此：我们取一个矩形，其边平行于包含该三角形的轴，然后减去底部平行于轴的直角三角形。
4. 对于任何多边形都是如此：我们对多边形进行三角化。

这里的主要思想是显示多边形的和和和差仍然遵循Pick定理，这就是允许我们粘合/分离三角形的原因。