打开设置
打开设置基本的构建模块是什么<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/topology/" class="wiki_link" title="拓扑结构" target="_blank">拓扑结构.在熟悉的环境中<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/metric-space/" class="wiki_link" title="度量空间" target="_blank">度量空间,开集有一个自然描述,可以认为是上的开区间的泛化<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/representation-on-the-real-line/" class="wiki_link" title="实数线" target="_blank">实数线.直观地说,开放集是一个不包含它的集合<年代trong>边界,就像区间的端点不包含在区间内一样。
的标准定义<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/continuous-functions/" class="wiki_link" title="连续性" target="_blank">连续性可以用开集的形式非常简洁地表述,这种表述的优雅使得这种思想可以有力地推广到一般拓扑空间。同样地,拓扑概念的许多其他定义一般都是用开集的形式表述的。
开集的补是a<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/closed-sets/" class="wiki_link" title="闭集" target="_blank">闭集.许多与开集有关的拓扑性质也可以用闭集来表示。
正式的定义
除了本wiki的最后一节之外,所有的设置都将是一个通用的度量空间<年代pan class="katex"> 那些对抽象度量空间不太熟悉的读者可能会想到<年代pan class="katex"> 作为<年代pan class="katex"> 在哪里<年代pan class="katex"> 或<年代pan class="katex"> 对于具体性,和距离函数<年代pan class="katex"> 两点之间的标准欧氏距离。
度量空间中的开集<年代pan class="katex"> 是一个子集<年代pan class="katex"> 的<年代pan class="katex"> 具有以下属性:for any<年代pan class="katex"> 有一个实数<年代pan class="katex"> 以致于任何一点<年代pan class="katex"> 这是一段距离<年代pan class="katex"> 从<年代pan class="katex"> 也包含在<年代pan class="katex">
对于任何一个点<年代pan class="katex"> 定义<年代pan class="katex"> 是半径的空球<年代pan class="katex"> 哪个是所有点的集合<年代pan class="katex"> 在一定距离内<年代pan class="katex"> 从<年代pan class="katex"> (例如,如果<年代pan class="katex"> 然后<年代pan class="katex"> 是开区间<年代pan class="katex"> 如果<年代pan class="katex"> 打开的圆盘是否居中<年代pan class="katex"> 半径为<年代pan class="katex"> 然后一组<年代pan class="katex"> 是否为每个点的当且仅当开放<年代pan class="katex"> 有一个<年代pan class="katex"> 这样<年代pan class="katex"> 完全包含在<年代pan class="katex">
因此,我们的直觉是,开放集合是集合中任何一点都有一个小的“光环”,它完全包含在集合中。这个想法是当这个点在集合的边界上时这个光晕就不存在了,所以<年代pan class="katex"> 是开放的意思就是它不包含任何边界点。有了正确的边界定义,这种直觉就变成了一个定理。
的<年代trong>边界一组<年代pan class="katex"> 在度规空间内<年代pan class="katex"> 是点的集合吗<年代pan class="katex"> 对于任何<年代pan class="katex"> 中至少包含一个点<年代pan class="katex"> 至少有一点不在<年代pan class="katex">
一个子集<年代pan class="katex"> 当且仅当它不包含它的任何边界点时,一个度量空间是开放的。
很明显,一个开放的集合<年代pan class="katex"> 不能包含任何边界点,因为光晕条件不适用于这些点。另一方面,如果一套<年代pan class="katex"> 不包含任何边界点,这就足以表明它是开放的:对于每个点<年代pan class="katex"> 自<年代pan class="katex"> 是不是一个边界点,这意味着周围有一些球<年代pan class="katex"> 要么包含在<年代pan class="katex"> 或包含在的补语中<年代pan class="katex"> 但每一个球<年代pan class="katex"> 中至少包含一个点<年代pan class="katex"> 即<年代pan class="katex"> 它本身,所以它一定是前者,而且<年代pan class="katex"> 里面有光环<年代pan class="katex">
属性
微不足道的开放集:空集合和整个集合<年代pan class="katex"> 都是开放的。这是定义的直接结果。
联盟和十字路口:的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/sets-union-and-intersection-easy/" class="wiki_link" title="联盟" target="_blank">联盟一个开集的任意集合都是开的。的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/sets-union-and-intersection-easy/" class="wiki_link" title="十字路口" target="_blank">十字路口的数量有限Open sets是开放的。
要查看第一个语句,请考虑union中一个点周围的光环。因为任何<年代pan class="katex"> 在并集中是在一个开放集合中<年代pan class="katex"> 它有一个<年代pan class="katex"> 它包含在<年代pan class="katex"> 所以这个球也包含在联盟中。<年代pan class="katex">
第二种说法在下面的练习中得到了证明。
让<年代pan class="katex"> 是一个集合的开放集<年代pan class="katex"> 如果<年代pan class="katex"> 是有限的,那么交点呢<年代pan class="katex"> 也是一个开放集。这里有一个证明:
假设<年代pan class="katex"> 为每一个<年代pan class="katex"> 让<年代pan class="katex"> 是一个有正半径的球<年代pan class="katex"> 什么是完全包含在里面的<年代pan class="katex"> 然后是交点<年代pan class="katex"> 是一个球<年代pan class="katex"> 周围<年代pan class="katex"> 它完全包含在十字路口内,所以十字路口是开放的。
在这里球在<年代pan class="katex"> 是一组<年代pan class="katex"> (<年代pan class="katex"> 由所有点组成的正实数)<年代pan class="katex"> 这样<年代pan class="katex"> 在<年代pan class="katex"> 它是一个以。为中心的开放圆盘<年代pan class="katex"> 的半径<年代pan class="katex">
什么时候证明错在哪里<年代pan class="katex"> 是无限的吗?
- 基本的开集:每一盘开球都是开球的结合<年代pan class="katex">
要看这个,让<年代pan class="katex"> 是一个开放的集合,为每一个<年代pan class="katex"> 让<年代pan class="katex"> 成为周围的光环<年代pan class="katex"> 那么每个<年代pan class="katex"> 包含在<年代pan class="katex"> 所以它们的并集是;但他们的结合必须是所有的<年代pan class="katex"> 因为每一个点<年代pan class="katex"> 包含在(至少)其中一个。
这种通过采用某些类型的开放集的并集来构建开放集的概念可以推广到抽象<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/topology/" class="wiki_link" title="拓扑结构" target="_blank">拓扑结构,其中的构建块被称为<年代trong>基本的开集,或者一个<年代trong>基地.
连续性
的定义<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/continuous-functions/" class="wiki_link" title="连续函数" target="_blank">连续函数,其中包括<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/epsilon-delta-definition-of-a-limit/" class="wiki_link" title="极限的ε - δ定义" target="_blank">极限的ε - δ定义,可以用开集的形式重新表述。这种重新表述是将连续性概念推广到抽象拓扑空间的一种方法。
回想一下函数<年代pan class="katex"> 是连续的如果<年代pan class="katex">
一个函数<年代pan class="katex"> 是连续的当且仅当任何开集的逆像是开的。也就是说,如果<年代pan class="katex"> 的开放子集<年代pan class="katex"> 然后<年代pan class="katex"> 的开放子集<年代pan class="katex">
假设<年代pan class="katex"> 是连续的,<年代pan class="katex"> 是开放的,<年代pan class="katex"> 然后<年代pan class="katex"> 所以有一个空位球<年代pan class="katex"> 对于一些<年代pan class="katex"> 现在自<年代pan class="katex"> 一定有一些<年代pan class="katex"> 这样,当<年代pan class="katex"> 也就是说,对所有人来说<年代pan class="katex"> 在于<年代pan class="katex"> 但是这个球包含在<年代pan class="katex"> 对于所有<年代pan class="katex"> 所以<年代pan class="katex"> 这表明<年代pan class="katex"> 是空的,因为我们在任何一点周围都找到了一个球<年代pan class="katex"> 它包含在<年代pan class="katex">
相反方向(“如果”)的证明是类似的。<年代pan class="katex">
注意,连续函数下的开放集的图像不一定是开放的。例如,<年代pan class="katex"> 定义为<年代pan class="katex"> 满足<年代pan class="katex">
以上定理引出了拓扑连续性的一般定义:两个度量空间(或拓扑空间)之间的连续函数被定义为一个具有这样性质的函数:开放集的逆像是开放的。
使用开放集定义的属性
的<年代trong>室内一组<年代pan class="katex"> 定义为?的最大开放子集<年代pan class="katex"> 它等于每个开放子集的并集<年代pan class="katex"> 的内部<年代pan class="katex"> 点的集合在里面吗<年代pan class="katex"> 哪些不是边界点<年代pan class="katex">
一个<年代trong>连接设置定义为一个集合,该集合不是两个非空开集的不相交并集。
一个<年代trong>紧凑的的子集<年代pan class="katex"> 是一个子集<年代pan class="katex"> 用每一种覆盖物的属性<年代pan class="katex"> 由一个开集集合具有有限子覆盖——也就是说,给定一个开集集合,其并集包含<年代pan class="katex"> 可以从覆盖中选择一个由有限多个开集组成的子集合,它的并集仍然包含<年代pan class="katex">
点集拓扑的第一步
在没有度量的情况下,可以恢复任意集合度量空间的许多定义和性质。这个想法是,给定一个集合<年代pan class="katex"> 指定开放子集的集合(称为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/topology/" class="wiki_link" title="拓扑结构" target="_blank">拓扑结构)满足以下公理:
空的集合和<年代pan class="katex"> 是开放的。
开放集合的无限并是开放的;开集的有限交是开的。
在某种意义上,这些是开集的基本性质。这些公理允许对没有自然度量的上下文的开放集进行广泛的概括。实际上,数学中有一些重要的拓扑例子不是来自度量,包括<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/zariski-topology/" class="wiki_link" title="Zariski拓扑" target="_blank">Zariski拓扑在代数几何。
参考文献
- Pred。开放集-示例.2009年1月24日,从<一个href="https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Open_set_-_example.png">https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Open_set_-_example.png