连通空间

让 $X$是一个拓扑空间。然后 $X$据说是断开连接如果 $X = U_1 \cup U_2，$与 $U_1, U_2$的开放子集 $X$这样 $U_1 \cap U_2 = \varnothing。$否则, $X$是连接．

此定义的等效公式涉及到开放集，定义如下:

一个闭开集是一个既闭又开的集合。

很明显, $X$而且 $\ varnothing$是开放的，连通性的定义与其他开放集相关:

$X$是连通的当且仅当唯一的开子集 $X$是 $X$而且 $\ varnothing。$

这很清楚，因为如果 $U_1, U_2$开放子集是 $U_1 \cup U_2 = X$而且 $U_1 \cap U_2 = \emptyset，$然后 $U_1$而且 $U_2$闭开。(这个推理反过来也适用。)

让 $Y$是拓扑空间的子集 $X。$回想一下, $Y$继承的拓扑 $X$被称为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/topology/" class="wiki_link" title="子空间拓扑结构" target="_blank">子空间拓扑结构，哪里开套 $Y$交集是开放的集合吗 $X$与 $Y。$然后是子集 $Y$的 $X$当且仅当它作为拓扑空间与子空间拓扑相连接时连通。

考虑子集 $Y = [0,1) \cup (1,2) \subseteq \mathbb R;$然后 $Y$是不相连的，因为它是 $(0,1)$而且 $(1、2)。$它们都不是的开放子集 $\ mathbb R,$但它们是 $Y$子空间拓扑 $\大($因为它们是例如。 $(1,1)$而且 $(1、3)$与 $Y \大)。$

任何时间间隔 $R \ mathbb$是连接。

这个结果的所有证明都使用了<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/infimium/" class="wiki_link" title="完整性" target="_blank">完整性的属性 $\ mathbb R。$这里有一个这样的证明。为了简单起见，我们只在区间是闭合的情况下给出证明，并且在不失一般性的前提下，可以假定区间为 $[0, 1]$在这种情况下。通过在具有相同端点的封闭区间内嵌入非封闭区间(留给读者作为练习)，一般区间的结果很快就可以从封闭区间的结果中得到。

假设 $[0,1] = U \cup V$与 $U, V$开的，不相交的，非空的。在不失一般性的前提下，选择 $a\in U, b \in V$与 $0 < a < b < 1。$让 $c = \sup \big({x \in U, x < b\} \big)。$(这就是使用完整性的地方，以知道这个至高无上的存在。)

如果 $c \in U，$然后找一个区间 $(c - \ε,c + \ε)$完全包含在 $U$ $（$这是可能的 $U$是开放的 $）.$请注意, $b$不是因为在这个区间吗 $b \not tin U。$自 $c \ b,$在这个例子中是这样的 $C + b。$这违反了的描述 $c$比所有元素都大的 $U$这是 $\ b,$因为它并不比e.g.大。 $c + \压裂{\ε}{2}。$

如果 $c \in V，$然后一个类似的论证表明 $c$不是集合的最小上界吗 $在U中，x < b\}。$所以这两种情况都有矛盾。 $_ \广场$

每个拓扑空间 $X$可以划分成连接组件；的最大连通子集 $X,$按包含量排序。连接的组件 $X$非空的，不相交的，它们的并集是 $X。$了解这一点的一种方法是考虑<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/relations/" class="wiki_link" title="等价关系" target="_blank">等价关系关于 $X$定义为 $X \sim y$当且仅当 $x$而且 $y$都包含在一个连通集中;那么连接的组件就是这个关系下的等价类。

这种关系是可传递的这一事实要求得到以下重要的结果:

让 $X$是一个拓扑空间 $Y, Z$两个连通的子空间。如果 $Y \cap Z$非空, $Y \杯子Z$是连接。

假设 $Y \杯子Z$断开连接。 $Y\cup Z = U \cup V，$在哪里 $U, V$是不相交的，非空的，和开放的 $Y Z \杯。$然后选一个点 $x \在Y \帽Z。$在不丧失一般性的前提下假设 $x \in U。$所以 $U \cap Y$非空的，并且是打开的 $Y。$现在 $V \cap Y$是开放的 $Y,$并从 $U \cap Y，$而且 $U \cap Y$而且 $V \cap Y$封面 $Y。$自 $Y$是有联系的，唯一的可能是 $V \cap Y = \varnothing。$所以 $Y \subseteq U$而且 $V \subseteq;$但是现在我们可以利用它 $Z$连接: $U \cap Z$而且 $V$脱节非空盖 $Z,$这是不可能的。这个矛盾表明 $Y \杯子Z$必须连接。 $_ \广场$

本节描述了连通性属性的更直接的定义，包括拓扑空间内的路径连接点。首先，有必要定义一个路径。

让 $X$是一个拓扑空间。一个路径两点之间 $在x x, y \$是一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/open-sets/" class="wiki_link" title="连续" target="_blank">连续函数 $f \冒号[0,1]\到X$这样 $F (0) = x$而且 $F (1) = y。$

拓扑空间 $X$是道路连通如果任意两点之间有一条路径 $X。$

路径连通拓扑空间是连通的。

假设 $X$路径连接但不连接。所以 $X = U \cup$与 $U, V$非空不相交开集。取 $x \in U，$ $y \in V，$,让 $f$成为他们之间的路径。然后 $f ^ {1} (U)$而且 $f ^ {1} (V)$的不相交、非空、开放子集 $[0, 1]$涵盖 $[0,1]。$但这是不可能的，因为在一个封闭的区间 $R \ mathbb$是连接。 $_ \广场$

这个定理的逆命题是假的。这里有一个著名的反例 ${} \ mathbb R ^ 2,$被称为“拓扑学家的正弦曲线”。

让 $X$是的子集 ${} \ mathbb R ^ 2$由点组成 $\大(x，\sin \frac1x \大)$对所有 $X > 0，$加上原点 $(0, 0)。$表明, $X$是连通的，但不是路径连通的。

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请注意, $X \setminus \{(0,0)\}$是路径连通的，因为它是一个连续函数的图。假设 $X$不连接;然后一个表达式 $X$的不连贯的结合 $U$而且 $V,$与 $在U (0,0) \$导致的表达式 $X \ setminus \ {(0,0) \}$的不连贯的结合 $U \ setminus \ {(0,0) \}$而且 $V。$关键是 $(0,0)$是一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/closed-sets/" class="wiki_link" title="极限点" target="_blank">极限点的 $X,$所以 $U \ setminus (0, 0)$非空的。这是一个矛盾，因为 $X \setminus \{(0,0)\}$是路径连接的，因此是连接的。图的 $罪\ \压裂{1}{x}$外面有点 $[0, 1]$包括在插图中

要知道 $X$不是路径连通的，这个想法是为了表明任何路径开始于 $(0,0)$呆在里面 $X$是平凡路径 $\大($它是亮着的 $(0,0) \大)。$直观地说，路径没有办法从原点“跳”到其他点 $X,$因为 $X$“无限波”近吗 $x = 0。$为了使其形式化，假设 $f \冒号[0,1]\到X$是一个路径 $F (0) = (0,0)$假设它不是平凡路径。让 $t_0 = \正\大(\ {t \ [0, 1]: f (t) \ ne(0, 0) \} \大)。$通过连续性 $f,$ $F (t_0) = \lim\limits_{t \to t_0^-} F (t) =(0,0)。$还有连续性，有一个 $\delta > 0$这样 $y$坐标的 $f (t)$为 $T \in (t_0,t_0+\delta)$小于，比如说， $\ frac12。$因为 $t_0$是否有一个下限界 $t_1$在这段时间内 $F (t_1) \ne(0,0)。$但是间隔 $(t_0 t_1)$必须包含无穷多个点谁的 $y$协调是 $1$(论证的“无限波动”部分)，这是一个矛盾。 $_ \广场$