打开设置

打开设置基本构件是什么<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/topology/" class="wiki_link" title="拓扑结构" target="_blank">拓扑结构．在一个熟悉的环境中<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/metric-space/" class="wiki_link" title="度量空间" target="_blank">度量空间，开集有一个自然的描述，它可以被认为是对开区间的推广<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/representation-on-the-real-line/" class="wiki_link" title="实数线" target="_blank">实数线．直观地说，开集是不包含其<年代trong>边界，就像区间的端点不包含在区间中一样。

的标准定义<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/continuous-functions/" class="wiki_link" title="连续性" target="_blank">连续性可以非常简洁地用开集来重新表述，这种简洁的表述使得这个思想在一般拓扑空间中得到了有力的推广。以同样的方式，拓扑概念的许多其他定义一般都是根据开集来表述的。

开集的补是a<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/closed-sets/" class="wiki_link" title="闭集" target="_blank">闭集．许多与开集相关的拓扑性质也可以用闭集来表述。

正式的定义

在本wiki的所有部分中，除了最后一部分，设置将是一般度量空间<年代pan class="katex"> $(X, d)。$ $（ X ， d ）．$ 那些对抽象度量空间不太熟悉的读者可能会想到<年代pan class="katex"> $X$ $X$ 作为<年代pan class="katex"> ${} \ mathbb R ^ n,$ $R^{n} ，$ 在哪里<年代pan class="katex"> $n = 2$ $n = 2$ 或<年代pan class="katex"> $3.$ $3.$ 对于具象性，和距离函数<年代pan class="katex"> $d (x, y)$ $d （ x ， y ）$ 作为两点之间的标准欧几里得距离。

度量空间中的开集<年代pan class="katex"> $(X, d)$ $（ X ， d ）$ 是一个子集<年代pan class="katex"> $U$ $U$ 的<年代pan class="katex"> $X$ $X$ 具有以下属性:for any<年代pan class="katex"> $x \in U，$ $x \in U ，$ 这是一个实数<年代pan class="katex"> $\ ε > 0$ $ϵ > 0$ 使得任意一点<年代pan class="katex"> $X$ $X$ 这是一段距离<年代pan class="katex"> $< \ε$ $< ϵ$ 从<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 也包含在<年代pan class="katex"> $U。$ $U ．$

对于任意点<年代pan class="katex"> $x \in x，$ $x \in X ，$ 定义<年代pan class="katex"> $B (x) \ε)$ $B （ x ， ϵ ）$ 成为半径的开放球<年代pan class="katex"> $\ε,$ $ϵ ，$ 哪个是所有点的集合<年代pan class="katex"> $X$ $X$ 都在一段距离之内<年代pan class="katex"> $\ε$ $ϵ$ 从<年代pan class="katex"> $x。$ $x ．$ (例如，if<年代pan class="katex"> $X = {\mathbb R}，$ $X = R ，$ 然后<年代pan class="katex"> $B (x) \ε)$ $B （ x ， ϵ ）$ 是开放区间<年代pan class="katex"> $(x - \ε,x + \ε)。$ $（ x - ϵ ， x + ϵ ）．$ 如果<年代pan class="katex"> $X = {} \ mathbb R ^ 2,$ $X = R^{2} ，$ $B (x) \ε)$ 打开的圆盘是否在<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 半径为<年代pan class="katex"> $\ε。)$ $ϵ ．）$ 然后是一组<年代pan class="katex"> $U$ $U$ 对于每个点是否开放当且仅当<年代pan class="katex"> $x \ U,$ $x \in U ，$ 有一个<年代pan class="katex"> $\ε> 0$ $ϵ > 0$ 这样<年代pan class="katex"> $B (x) \ε)$ $B （ x ， ϵ ）$ 完全包含在<年代pan class="katex"> $U。$ $U ．$

$一些引用使用$B_{\epsilon}(x) $而不是\(B(x，\epsilon)。$ 一些参考文献使用<年代pan class="katex"> $B_{\ε}(x)$ $B_{ϵ} （ x ）$ 而不是<年代pan class="katex"> $B (x) \ε)。$ $B （ x ， ϵ ）．$ ^[1]

所以直觉告诉我们，开集是这样一个集合，集合中的任何一点周围都有一个小的“晕”，这个晕完全包含在集合中。这个想法是，当点位于集合的边界时，这个光晕不存在，所以条件是<年代pan class="katex"> $U$ $U$ 它是开的也就是说它不包含任何边界点。有了边界的正确定义，这个直觉就变成了一个定理。

的<年代trong>边界一组的<年代pan class="katex"> $年代$ $年代$ 在度量空间内<年代pan class="katex"> $X$ $X$ 是点的集合吗<年代pan class="katex"> $年代$ $年代$ 这样对于任何<年代pan class="katex"> $\ε> 0,$ $ϵ > 0 ，$ $B (s \ε)$ 中至少包含一个点<年代pan class="katex"> $年代$ $年代$ 至少有一个点不在里面<年代pan class="katex"> $年代。$ $年代．$

一个子集<年代pan class="katex"> $U$ $U$ 一个度量空间是开放的当且仅当它不包含任何边界点。

很明显，一个开放的集合<年代pan class="katex"> $U$ $U$ 不能包含它的任何边界点，因为光晕条件不适用于这些点。另一方面，如果一个集合<年代pan class="katex"> $U$ $U$ 不包含任何边界点，这就足以证明它是开放的，对于每个点<年代pan class="katex"> $x \ U,$ $x \in U ，$ 自<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 是不是有个边界点，那就意味着周围有个球<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 它要么包含在<年代pan class="katex"> $U$ $U$ 或者包含在的补中<年代pan class="katex"> $U。$ $U ．$ 但是每一个球<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 中至少包含一个点<年代pan class="katex"> $U,$ $U ，$ 即<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 它本身，所以一定是前者，而<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 里面有光环<年代pan class="katex"> $U。$ $U ．$ $_ \广场$

属性

平凡开集:空集和整个集<年代pan class="katex"> $X$ $X$ 都是开放的。这是定义的直接结果。
并和交:的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/sets-union-and-intersection-easy/" class="wiki_link" title="联盟" target="_blank">联盟开集合的任意集合是开的。的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/sets-union-and-intersection-easy/" class="wiki_link" title="十字路口" target="_blank">十字路口的数量有限Open sets是开放的。

要查看第一个语句，请考虑union中某一点周围的光晕。因为任何<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 在并集中是在一个开集中<年代pan class="katex"> $U,$ $U ，$ 它有一个<年代pan class="katex"> $B (x) \ε)$ $B （ x ， ϵ ）$ 在它周围<年代pan class="katex"> $U,$ $U ，$ 所以这个球也包含在联盟中。<年代pan class="katex"> $_ \广场$ $_{□}$

第二个表述在下面的练习中得到了证明。

无穷多个集合的交集不一定是有定义的证明是有效的;这个说法是正确的

B

可能不在里面<年代pan class="katex">

U

U

U

可能是空的

B

可能不是一个球<年代pan class="katex">

x

x

让<年代pan class="katex"> $U_{\α}$ $U_{α}$ $(\alpha \in A)$ 是一个集合的开放集合<年代pan class="katex"> ${} \ mathbb R ^ 2。$ $R^{2} ．$ 如果<年代pan class="katex"> $一个$ $一个$ 是有限的，那么交点呢<年代pan class="katex"> $U = \bigcap\limits_\alpha U_{\alpha}$ $U = α ⋂ U_{α}$ 也是一个开放集。这里有一个证明:

假设<年代pan class="katex"> $x \ U。$ $x \in U ．$ 为每一个<年代pan class="katex"> $\ α \in A，$ $α \in 一个，$ 让<年代pan class="katex"> $B_{\α}$ $B_{α}$ 做一个半径为正的球<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 哪一个完全包含在里面<年代pan class="katex"> $U_{\α}。$ $U_{α} ．$ 然后是交点<年代pan class="katex"> $B_{\α}$ $B_{α}$ 是一个球<年代pan class="katex"> $B$ $B$ 周围<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 它完全包含在十字路口内，所以十字路口是开放的。

$（$ 在这里球在<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 是一个集合<年代pan class="katex"> $B (x, r)$ $B （ x ， r ）$ （<年代pan class="katex"> $r$ $r$ 由所有点组成的正实数<年代pan class="katex"> $y$ $y$ 这样<年代pan class="katex"> $| x - y | < r。$ $∣ x - y ∣ < r ．$ 在<年代pan class="katex"> ${} \ mathbb R ^ 2$ $R^{2}$ 它是一个以。为中心的开放圆盘<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 的半径<年代pan class="katex"> $r。)$ $r ．）$

这个证明什么时候会出错<年代pan class="katex"> $一个$ $一个$ 是无限的吗?

基本开集:每个开集都是开放球的并集<年代pan class="katex"> $B (x) \ε)。$ $B （ x ， ϵ ）．$

要看到这个，让<年代pan class="katex"> $U$ $U$ 是一个开放的集合，对于每个<年代pan class="katex"> $x \ U,$ $x \in U ，$ 让<年代pan class="katex"> $B (x) \ε)$ $B （ x ， ϵ ）$ 成为周围的光环<年代pan class="katex"> $x。$ $x ．$ 那么每个<年代pan class="katex"> $B (x) \ε)$ $B （ x ， ϵ ）$ 包含在<年代pan class="katex"> $U,$ $U ，$ 所以他们的结合是;但他们的结合必须是<年代pan class="katex"> $U$ $U$ 因为每一点<年代pan class="katex"> $x \ U$ $x \in U$ 包含在(至少)其中一个中。

这种通过取某些类型开集的并集来建立开集的概念推广到抽象<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/topology/" class="wiki_link" title="拓扑结构" target="_blank">拓扑结构在美国，积木被称为积木<年代trong>基本开集，或者<年代trong>基地．

连续性

的定义<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/continuous-functions/" class="wiki_link" title="连续函数" target="_blank">连续函数，其中包括<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/epsilon-delta-definition-of-a-limit/" class="wiki_link" title="极限的定义" target="_blank">极限的定义，可以用开集的形式重新表述。这种重新表述是将连续性概念推广到抽象拓扑空间的一种方法。

回想一下，一个函数<年代pan class="katex"> $f \冒号{\mathbb R}^n \到{\mathbb R}^m$ $f ： R^{n} \to R^{米}$ 是连续的，如果<年代pan class="katex"> $\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a)。$ $x \to 一个 lim f （ x ） = f （一个）．$

一个函数<年代pan class="katex"> $f \冒号{\mathbb R}^n \到{\mathbb R}^m$ $f ： R^{n} \to R^{米}$ 是连续的当且仅当任意开集的逆像是开的。也就是说，如果<年代pan class="katex"> $V$ $V$ 的开放子集是<年代pan class="katex"> $Y,$ $Y ，$ 然后<年代pan class="katex"> $f ^ {1} (V)$ $f^{- 1} （ V ）$ 的开放子集是<年代pan class="katex"> $X。$ $X ．$

假设<年代pan class="katex"> $f$ $f$ 是连续的,<年代pan class="katex"> $V \subseteq {\mathbb R}^m$ $V \subseteq R^{米}$ 是开放的，并且<年代pan class="katex"> $a \in f^ (-1) (V)$ $一个 \in f^{- 1} （ V ）．$ 然后<年代pan class="katex"> $f(a) \in V，$ $f （一个） \in V ，$ 所以有一个空球<年代pan class="katex"> $B\big(f(a)，\epsilon\big) \subseteq V，$ $B （ f （一个）， ϵ ） \subseteq V ，$ 对于一些<年代pan class="katex"> $\ε。$ $ϵ ．$ 现在自<年代pan class="katex"> $\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a)，$ $x \to 一个 lim f （ x ） = f （一个），$ 一定存在一些<年代pan class="katex"> $\ δ > 0$ $δ > 0$ 这样每当<年代pan class="katex"> $x | | < \三角洲,$ $∣ x - 一个 ∣ < δ ，$ $| f (x) - f (a) | < \ε。$ 也就是说，对所有人来说<年代pan class="katex"> $x \in B(a，\)$ $x \in B （一个， δ ），$ $f (x)$ 在于<年代pan class="katex"> $B \大(f() \ε\大)。$ $B （ f （一个）， ϵ ）．$ 但是这个球包含在<年代pan class="katex"> $V,$ $V ，$ 所以对所有人来说<年代pan class="katex"> $x \in B(a，\)$ $x \in B （一个， δ ），$ $f(x) \in V。$ 所以<年代pan class="katex"> $B(a，\ δ) \subseteq f^{-1}(V)$ $B （一个， δ ） \subseteq f^{- 1} （ V ）．$ 这表明<年代pan class="katex"> $f ^ {1} (V)$ $f^{- 1} （ V ）$ 是开着的，因为我们在任何一点找到了一个球<年代pan class="katex"> $a \in f^ (-1) (V)$ $一个 \in f^{- 1} （ V ）$ 它包含在<年代pan class="katex"> $f ^ {1} (V)。$ $f^{- 1} （ V ）．$

相反(“如果”)方向的证明是类似的。<年代pan class="katex"> $_ \广场$ $_{□}$

注意开集在连续函数下的像不一定是开的。例如,<年代pan class="katex"> $f \冒号{\mathbb R} \to {\mathbb R}$ $f ： R \to R$ 定义为<年代pan class="katex"> $f (x) = x ^ 2$ $f （ x ） = x^{2}$ 满足<年代pan class="katex"> $F \big((-1,1)\big) =[0,1]。$ $f （（ - 1 ， 1 ）） = ［ 0 ， 1 ）．$

上述定理激发了拓扑连续性的一般定义:两个度量空间(或拓扑空间)之间的连续函数被定义为具有开集的逆像是开的性质的函数。

使用开集定义的属性

的<年代trong>室内一组的<年代pan class="katex"> $X$ $X$ 的最大开放子集<年代pan class="katex"> $X。$ $X ．$ 它等于每个开子集的并集<年代pan class="katex"> $X。$ $X ．$ 的内部<年代pan class="katex"> $X$ $X$ 点的集合在里面吗<年代pan class="katex"> $X$ $X$ 哪些不是的边界点<年代pan class="katex"> $X。$ $X ．$
一个<年代trong>连接设置被定义为不是两个非空开集的不相交并的集合。
一个<年代trong>紧凑的的子集<年代pan class="katex"> ${} \ mathbb R ^ n$ $R^{n}$ 是一个子集<年代pan class="katex"> $X$ $X$ 每一个覆盖的属性<年代pan class="katex"> $X$ $X$ 如果一个开集的集合有一个有限子覆盖——即给定一个开集的集合，其并集包含<年代pan class="katex"> $X,$ $X ，$ 可以从覆盖中选择一个有限多个开集的子集合，其并集仍然包含<年代pan class="katex"> $X。$ $X ．$

点集拓扑的第一步

在没有度量的情况下，可以恢复任意集合的度量空间的许多定义和性质。这个想法是，给定一组<年代pan class="katex"> $X,$ $X ，$ 指定开放子集的集合(称为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/topology/" class="wiki_link" title="拓扑结构" target="_blank">拓扑结构)，满足以下公理:

空集和<年代pan class="katex"> $X$ $X$ 是开放的。
开集的无限并是开的;开集的有限交是开的。

在某种意义上，这些是开集的基本性质。这些公理允许将开集广泛推广到没有自然度量的环境中。事实上，在数学中有一些重要的拓扑例子不是来自度量，包括<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/zariski-topology/" class="wiki_link" title="Zariski拓扑" target="_blank">Zariski拓扑在代数几何中。

参考文献

Pred。开放集-示例．检索于2009年1月24日，来自<一个href="https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Open_set_-_example.png">https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Open_set_-_example.png

有关……

内容