奈斯比特不平等
奈斯比特的不平等是夏皮罗不等式的一个特例。它指出，对于正实数\(a, b，\)和\(c\)，我们有
\ [\ dfrac{一}{b + c} + \ dfrac {b} {c +} + \ dfrac {c} {a + b} \通用电气\ dfrac{3}{2} \]。
奈斯比特的不平等
内斯比特不等式是一个著名的具有许多独特解的不等式。它指出
对于正实数\(a,b\)和\(c，\)
\ [\ dfrac{一}{b + c} + \ dfrac {b} {c +} + \ dfrac {c} {a + b} \通用电气\ dfrac{3}{2}。广场\ _ \ \]
下面是内斯比特不等式的证明列表。请随意添加您自己的证明。
证明内斯比特不等式
证据1:
消去分母，完全展开得到它等价于
\ [2 ^ 3 + 2 ^ 3 + 2 c ^ 3 \通用^ 2 b + c ^ 2 + 2 ^ ^ + b 2 c + c ^ 2 + c ^ 2 b。\]
然而,通过AM-GM
\ [\ dfrac {a ^ 3 + 3 ^ + ^ 3}{3} \通用^ 2 b, \]
对不等式对称求和就得到了期望的不等式。\(_\square \)
\ [\]证据2:
我们有
\ [\ dfrac{一}{b + c} + \ dfrac {b} {c +} + \ dfrac {c} {a + b} = \ dfrac {^ 2} {ab + ac} + \ dfrac {b ^ 2} {bc + ba} + \ dfrac {c ^ 2} {ca + cb} \通用电气\ dfrac {(a + b + c) ^ 2}{2(公元前ab + + ca)}。\]
通过Titu引理这还有待证明
\[开始\{数组}& \ dfrac {(a + b + c) ^ 2}{2(公元前ab + + ca)} \通用电气\ dfrac{3}{2}{或}& & \文本(a + b + c) ^ 2 \通用电气3(公元前ab + + ca) \结束数组{}\]
这在完全展开和使用\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)后是正确的。\(_\square \)
\ [\]证据3:
在不丧失一般性的前提下，我们假设\(a\geq b\geq c\)，这意味着\(\frac{1}{b+c}\geq\frac{1}{a+c}\geq\frac{1}{a+b}.\)
现在,应用切比雪夫不等式，我们有
\[3 \境(\压裂{一}{b + c} + \压裂{b} {a + c} + \压裂{c} {a + b} \境)\组(a + b + c) \境(\压裂{1}{b + c} + \压裂{1}{a + c} + \压裂{1}{a + b} \境)\]。
应用Titu引理,我们得到\(\压裂{1}{a + b} + \压裂{1}{b + c} + \压裂{1}{a + c} \组\压裂{9}{2 (a + b + c)} \),
\[\压裂{一}{b + c} + \压裂{b} {a + c} + \压裂{c} {a + b} \组\压裂{3}{2}。广场\ _ \ \]
\ [\]证据四:
设\(S\)表示不等式的左边，那么我们可以将\(S\)变换如下:
\[开始\{对齐}{lh} = S & = \ \文本压裂{一}{b + c} + \压裂{b} {c +} + \压裂{c} {a + b} \ \ & = 1 + \压裂{一}{b + c} + 1 + \压裂{b} {c +} + 1 + \压裂{c} {a + b} 3 \ \ & = \压裂{a + b + c} {b + c} + \压裂{a + b + c} {c +} + \压裂{a + b + c} {a + b} 3 \ \ & = \压裂{1}{2}\大[(a + b) + (b + c) +大(c + a) \] \离开(\压裂{1}{b + c} + \压裂{1}{c +} + \压裂{1}{a + b} \右)3。结束\{对齐}\]
现在，让(x=a+b, y=b+c, z=c+a，\)然后
\[开始\{对齐}2 s & = (x + y + z) \左(\压裂{1}{y} + \压裂{1}{z} + \压裂{1}{x} \右)- 6 \ \ & = \ underbrace{\ \压裂压裂{x} {y} + {y} {x}} _{\组2}+ \ underbrace{\压裂{x} {z} + \压裂{z} {x}} _ {\ geq2} + \ underbrace{\压裂{y} {z} + \压裂{z} {y}} _ {\ geq2} - 3 \组3 \ \ \ Rightarrow & = \压裂{一}{b + c} + \压裂{b} {a + c} + \压裂{c} {a + b} \组\压裂{3}{2}。\ _\square \end{align}\]