数学逻辑和可计算性

让 $E. 和 G G 是两组，然后产品集这两个集合中 E. × G = { （ 一种 那 B. 的） / 一种 ∈ E. 和 B. ∈ G } ． E \乘以G = \ {(a, b)在E \文本{/}\ \文本在G b{和}\ \}。 请注意，一般来说， （ 一种 那 B. 的） E.问： （ B. 那 一种 的） (a, b) eq (b) ，即这两个耦合的顺序是重要的。 以同样的方式，我们定义了产品集 N. （ N. > 2 ∈ Z. + 的） n\， (n > 2 \in \mathbb{Z}^{+}) 镶嵌 E.1 × E.2 × ...... × E.N.。 = { （ 一种1 那 一种2 那 ...... 那 一种N.。 的） / 一种1 ∈ E.1 那 一种2 ∈ E.2 那 ...... 那 一种N.。 ∈ E.N.。 } ． E_1 \乘以E_2 \ \ ldots \ * E_n = \ {(a_1,, \ ldots, an) {/} a_1 \ \文本在E_1, a₂\ E_2、\ ldots an在E_n \ \}。 符号:如果 E.一世 = E. 那 ∀一世 = 1 那 ． ． ． 那 N. E_i = E， \space \forall i =1，…n ，产品集是 E. × E. × ⋯ × E. ⏟ N. = E.N.。 ． \ underbrace {e \ times e \ times \ cdots \ times e} _ \ text {n} = e ^ {n}。 5.关系和秩序 让 E. E. 是一套，然后是一个 N. N. 必要的关系在 E. E. 是一个子集 E.N.。 ． E ^ n。 案子 N. = 2 n = 2 ， 一种二元关系，尤其重要。 让 R. ⊆ E.2 R \ subseteq E ^ 2 是二元关系中的 E. E. ，那是if. （ 一种 那 B. 的） ∈ R. （a，b）\在r ,我们会写 一种R。B.。 aRb ． N. = E. \ mathbb {n} = e ．然后 B. = { （ 一种 那 B. 的） ∈ N.2 / 一种 < B. } mathbb{N}^2 \text{/} a < B \} 二元关系在吗 N. \ mathbb {N} ．这个关系, 1R。4.。 ; 1R4; 尽管如此, 5.R。4.。 5R4. 是不正确的，即。 （ 5. 那 4. 的） ∉B.。 ． （5,4）\注意到B. 二进制关系 R. R. 在 E. E. 据说是一个自反关系如果为每个元素 一种 ∈ E. 在E \ 满意 一种R。一种 aRa ． 据说 R. R. 是一个对称关系当 一种R。B.。 ⟹ B.R。一种 arb \意味着胸罩 ． 据说 R. R. 是一个传递关系当 一种R。B.。 和 B.R。C ⟹ 一种R。C ARB \ TEXT {和} BRC \意味着电弧 ． 据说 R. R. 是一个反对称关系当 一种R。B.。 和 B.R。一种 ⟹ 一种 = B. aRb \text{and} bRa \暗指a = b ． 二进制关系 R. R. 在 E. ≠ ∅ e \ neq \ imptyset 据说是一个等价关系如果它拥有反身，对称和及物关系。鉴于等价关系 R. R. 在 E. ≠ ∅ e \ neq \ imptyset 和一个元素 一种 一种 在 E. E. 那 [ 一种 ] = { B. ∈ E. / B.R。一种 } [a] = \{b \in E \text{/} bRa\} 被称为类的等价性的 一种 ． 一个。 请注意, 一种 ∈ [ 一种 ] A \ [a] ．等价类的集合用 E.R。 \ frac {e} {r} 它叫做商品集由等价的等价 R. ． R。 如果对所讲的等价关系没有疑问，则等价类 一种 一种 那 [ 一种 ] (一) ，有时表示为 一种 一种 ． 让 Z. Z \ mathbb {} 是…的集合<一种target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/integers/">整数数字和 N. ∈ Z. n \ \ mathbb {Z} 固定的整数号码，然后 R. = { （ 一种 那 B. 的） ∈ Z.2 / ∃M. ∈ Z. 充实的 N. ⋅ M. = 一种 − B. } m = (a, b) \in \mathbb{Z}^2 \text{/} \exists m \in \mathbb{Z} \text{充实}n\cdot m = a - b\} 是一个等价关系 R. R. 在 Z. Z \ mathbb {} ．在这种情况下, E.R。 = Z.R。 = Z. N. Z. = Z.N.。 = { [ 0. ] 那 [ 1 ] 那 ． ． ． 那 [ N. − 1 ] } ． R \ displaystyle \压裂{E}{} = \压裂{\ mathbb {Z}} {R} = \压裂{\ mathbb {Z}} {n \ mathbb {Z}} = \ mathbb {Z} _n”=大\ \{[0],[1],…， [n - 1]\大\}。 看<一种target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/quotient-group/">商集团： Z.0.。 = Z. 那 Z.1 = { [ 0. ] } ． Z \ mathbb {} _0 = \ mathbb Z}{\四\ mathbb {Z} _1 = \大\{[0]\大\}。 集合中的每一个等价关系 E. ≠ ∅ e \ neq \ imptyset 产生集合的分割 E. E. ，并相反地，每一个分区 E. ≠ ∅ e \ neq \ imptyset 引发了该集合中的等价关系 E. E. ． 一个集合的分割 E. ≠ ∅ e \ neq \ imptyset 引发了该集合中的等价关系 E. E. ，其中每个类的划分 E. E. 一类等价的 E. E. ．另一方面，集合中的等价关系 E. ≠ ∅ e \ neq \ imptyset 产生集合的分割 E. E. ，因为每个元素 一种 ∈ E. 在E \ 满足 一种 ∈ [ 一种 ] A \ [a] ，并给出两个等价类 [ 一种 ] 那 [ B. ] [一]、[b] 在 E. E. ，我们有两种可能: [ 一种 ] ∩ [ B. ] = ∅ 那 [a] \ cap [b] = \ memptyset， 或 [ 一种 ] ∩ [ B. ] ≠ ∅ ⟹ ∃C ∈ [ 一种 ] [a] \ cap [b] \ neq \ imptyset \意味着\存在c \ [a] 和 C ∈ [ B. ] c \ [b] ． （ C ∈ [ 一种 ] ⟹ CR。一种 ⟹ ⏟ 对称 一种R。C 的） \big(c \in [a] \implies cRa \underbrace{\implies}_\text{对称性}aRc\big) 和 （ C ∈ [ B. ] ⟹ CR。B.。 的） ⟹ (c \in [b] \implies cRb\big) \implies （ 一种R。C 和 CR。B.。 的） ⟹ ⏟ 传递性 一种R。B.。 ⟹ 一种 ∈ [ B. ] ⟹ [ 一种 ] ⊆ [ B. ] \ big（arc \ text {和} crb \ big）\ undbractacrace {\意味着} _ \ text {transitutive} abr \暗示[b] \意味着[a] \ subseteq [b] ． 同样地， B. ∈ [ 一种 ] ⟹ [ B. ] ⊆ [ 一种 ] [B]在[a]中包含[B] \subseteq ．所以， [ 一种 ] = [ B. ] [一]= [b] ． □ _ \广场 二进制关系 R. R. 在 E. ≠ ∅ e \ neq \ imptyset 据说是一个部分秩序关系如果它具有自反、反对称和传递关系。在这种情况下, E. E. 据说是半序经过 R. R. ． 一种部分有序的子集 C C 的 E. E. 是一个链，如果每两个元素 C C 满足 一种R。B.。 aRb 或 B.R。一种 胸罩 ，即任意两个元素 C C 是可比而且，在这种情况下， C C 是完全命令和 R. R. ． 一个元素 一种 ∈ E. 在E \ (部分有序集)称为最大如果为每个元素 X ∈ E. x \ E 它满足这个: 一种R。X ⟹ X = 一种 ． aRx表示x = a。 看<一种target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/partially-ordered-set/">半序集和<一种target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/combinatorial-optimization/">组合集基础． 电源集 P. （ E. 的） \ mathbb {P} (E) 一组 E. ≠ ∅ e \ neq \ imptyset 是一个具有二进制关系的部分有序集 ⊆ \ subseteq ,即 一世 = { （ 一种 那 B. 的） / 一种 ⊆ E. 那 B. ⊆ E. 和 一种 ⊆ B. } I = \{(A, B) \text{/} A \subseteq E, B\ subseteq E \text{and} A \subseteq B\} 是偏序关系吗 E. ． E. 佐恩引理 让 X X 是一个<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/partially-ordered-set/" class="wiki_link" title="半序集“target="_blank">半序集每个链的属性 X X 有上界吗 X ． X。 然后 X X X包含最大元素。 查看首选的公理．这种引诱不能证明，它是我们的选择。您可以尝试证明选择和Zorn的引理的公理之间的等价，这需要一个“高级机械”或换句话说，“深度逻辑思想”。 注意:由于临时限制，本维基已被删节，全文将很快发布。 引用:数学逻辑和可计算性。B.rilliant.org．检索从<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/mathematical-logic-and-computability/">https://billiant.org/wiki/mathemational-logic-and-computability/ 获得更多的辉煌。注册 报名阅读所有关于数学、科学和工程主题的维基和测验。 使用Facebook登录<一种href="//www.parkandroid.com/account/google/login/?next=/wiki/mathematical-logic-and-computability/" id="login-google" class="btn btn-google signup-social ax-click" data-ax-id="clicked_login_from_problem_modal_google" data-ax-type="button" data-is_modal="true">使用谷歌登录<一种href="//www.parkandroid.com/account/login/?next=/wiki/mathematical-logic-and-computability/" id="problem-login-link" class="btn btn-email ax-click" data-ax-id="clicked_login_from_problem_modal_email" data-ax-type="button" data-is_modal="true" data-next="/wiki/mathematical-logic-and-computability/">用电子邮件登录 加入使用Facebook<一种href="//www.parkandroid.com/account/google/login/?next=/wiki/mathematical-logic-and-computability/" id="signup-google" class="btn btn-google signup-social ax-click" data-ax-id="clicked_signup_from_problem_modal_google" data-ax-type="button">加入使用谷歌<一种href="//www.parkandroid.com/account/signup/?signup=true&next=/wiki/mathematical-logic-and-computability/" id="signup-email" class="btn btn-email ax-click" data-ax-id="clicked_signup_from_problem_modal_email" data-ax-type="button" data-next="/wiki/mathematical-logic-and-computability/">使用电子邮件加入 忘记了密码?新用户?<一种href="//www.parkandroid.com/account/signup/?signup=true&next=/wiki/mathematical-logic-and-computability/" id="problem-signup-link-alternative" class="btn-link ax-click" data-ax-id="clicked_signup_from_problem_modal" data-ax-type="button" data-next="/wiki/mathematical-logic-and-computability/">注册 现有的用户?<一种href="//www.parkandroid.com/account/login/?next=/wiki/mathematical-logic-and-computability/" id="problem-login-link-alternative" class="btn-link ax-click" data-ax-id="clicked_login_from_problem_modal" data-ax-type="button" data-is_modal="true" data-next="/wiki/mathematical-logic-and-computability/">登录 × 问题加载… 注意加载...... 设置加载…$