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的磁矢势 ( 一个 ⃗ ) vec{一})(\ (一个 )是一个向量场这就是潜在的磁场.的旋度磁矢量势的单位是磁场。
B ⃗ = ∇ × 一个 ⃗ \vec{B} = \nabla \times \vec{A} B =∇×一个
在经典力学和量子力学中,使用拉格朗日时,首选使用磁矢量势。
由长度贡献的磁矢量势 d 年代 ⃗ d vec{年代}\ d年代 与当前 我 我 我穿过它
d 一个 ⃗ = μ 0 我 4 π r d 年代 ⃗ . d\vec{A} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} d\vec{s}。 d一个 =4πrμ0我d年代 .
距离上的磁矢量势是多少 R R R从一个长直流电元件? 假设导线位于z轴上。这就是到微分元件的距离 d z ⃗ vec {z d \} dz 在空间的某一点上 r = R 2 + z 2 . r = \√{r ^2 + z^2}。 r=R2+z2 . 因此, d 一个 ⃗ = μ 0 我 4 π d z R 2 + z 2 z ^ . vec {A} = d \ \压裂{\ mu_0我}{4π\}\压裂{dz}{\√6 {R ^ 2 + z ^ 2}} {z} \的帽子。 d一个 =4πμ0我R2+z2 dzz^. 现在需要对杆的长度进行积分。因为杆可以任意地表示在z轴上,为了简单起见,它可以被称为从 z = 0 z = 0 z=0来 z = l . z = L。 z=l.这只需要乘以2。还有,用替换法 z = R 棕褐色 ( θ ) . z = R \tan(\theta)。 z=R棕褐色(θ). 一个 ⃗ = 2 ∫ 0 l μ 0 我 4 π d z R 2 + z 2 z ^ = μ 0 我 2 π z ^ ∫ 0 ϕ 证券交易委员会 ( θ ) d θ = μ 0 我 2 π ln ( l 2 + R 2 + l R ) z ^ vec{一}\开始{对齐}\ & = 2 \ int_0 L ^ \压裂{\ mu_0我}{4π\}\压裂{dz}{\√6 {R ^ 2 + z ^ 2}} \帽子{z} \ \ & = \压裂{\ mu_0我}{2π\}\帽子{z} \ int_0 ^ \φ\交会(\θdθ\ \ \ & = \压裂{\ mu_0我}{2π\}\ ln \境(\压裂{\ sqrt {L ^ 2 + R ^ 2} + L} {R} \境)\帽子{z} \{对齐}结束 一个 =2∫0l4πμ0我R2+z2 dzz^=2πμ0我z^∫0ϕ证券交易委员会(θ)dθ=2πμ0我ln(Rl2+R2 +l)z^
距离上的磁矢量势是多少 R R R从一个长直流电元件?
假设导线位于z轴上。这就是到微分元件的距离 d z ⃗ vec {z d \} dz 在空间的某一点上
r = R 2 + z 2 . r = \√{r ^2 + z^2}。 r=R2+z2 .
因此,
d 一个 ⃗ = μ 0 我 4 π d z R 2 + z 2 z ^ . vec {A} = d \ \压裂{\ mu_0我}{4π\}\压裂{dz}{\√6 {R ^ 2 + z ^ 2}} {z} \的帽子。 d一个 =4πμ0我R2+z2 dzz^.
现在需要对杆的长度进行积分。因为杆可以任意地表示在z轴上,为了简单起见,它可以被称为从 z = 0 z = 0 z=0来 z = l . z = L。 z=l.这只需要乘以2。还有,用替换法 z = R 棕褐色 ( θ ) . z = R \tan(\theta)。 z=R棕褐色(θ).
一个 ⃗ = 2 ∫ 0 l μ 0 我 4 π d z R 2 + z 2 z ^ = μ 0 我 2 π z ^ ∫ 0 ϕ 证券交易委员会 ( θ ) d θ = μ 0 我 2 π ln ( l 2 + R 2 + l R ) z ^ vec{一}\开始{对齐}\ & = 2 \ int_0 L ^ \压裂{\ mu_0我}{4π\}\压裂{dz}{\√6 {R ^ 2 + z ^ 2}} \帽子{z} \ \ & = \压裂{\ mu_0我}{2π\}\帽子{z} \ int_0 ^ \φ\交会(\θdθ\ \ \ & = \压裂{\ mu_0我}{2π\}\ ln \境(\压裂{\ sqrt {L ^ 2 + R ^ 2} + L} {R} \境)\帽子{z} \{对齐}结束 一个 =2∫0l4πμ0我R2+z2 dzz^=2πμ0我z^∫0ϕ证券交易委员会(θ)dθ=2πμ0我ln(Rl2+R2 +l)z^
磁场是旋度矢量势的。
求出具有磁矢量势的区域内的磁场 一个 ⃗ = 罪 ( θ ) r ^ − r θ ^ . \vec{A} = \sin(\theta)\hat{r} - r\hat{\theta}。 一个 =罪(θ)r^−rθ^. 自 一个 ⃗ vec{一}\ 一个 是在球坐标,使用旋度的球面定义。 B ⃗ = 1 r 罪 θ ( ∂ ∂ θ ( 一个 φ 罪 θ ) − ∂ 一个 θ ∂ φ ) r ^ + 1 r ( 1 罪 θ ∂ 一个 r ∂ φ − ∂ ∂ r ( r 一个 φ ) ) θ ^ + 1 r ( ∂ ∂ r ( r 一个 θ ) − ∂ 一个 r ∂ θ ) φ ^ \begin{aligned} \vec{B} = \frac{1}{r\sin\theta} \左(\frac{\ varphi\ partial}{\ \partial \theta} \左)- \frac{\ \varphi\右)&\hat{\mathbf r} \\ \\ {}+ \frac{1}{r} \左(\frac{1}{\sin\theta} \\ \frac{1}{r} \左(r A_\ \sin\theta} \frac{\ \partial \r}} \左(r A_\ \varphi\右)&\hat{\ \partial}{\ \partial \r} \左(\frac{\ \partial \theta} \\ \左)&\hat{\ \boldsymbol \theta} \\ \\ \& \帽子{\ boldsymbol \ varphi} \{对齐}结束 B =r罪θ1(∂θ∂(一个φ罪θ)−∂φ∂一个θ)+r1(罪θ1∂φ∂一个r−∂r∂(r一个φ))+r1(∂r∂(r一个θ)−∂θ∂一个r)r^θ^φ^ 唯一能存活下来的部分 一个 ⃗ vec{一}\ 一个 是 B ⃗ = 1 r ( ∂ ∂ r ( r 一个 θ ) − ∂ 一个 r ∂ θ ) φ ^ = 1 r ( 2 r − 因为 ( θ ) ) = 2 − 因为 ( θ ) r \开始vec {B} & ={对齐}\ \压裂{1}{r} \大(\压裂{\部分}{\部分r} (r现代\θ)- \压裂{\部分A_r}{\部分\θ}\大)\帽子{\ varphi} \ \ & = \压裂{1}{r} \大(2 r - \ cosθ)(\ \大)\ \ & = 2 - \压裂{\ cosθ(\)}{r} \{对齐}结束 B =r1(∂r∂(r一个θ)−∂θ∂一个r)φ^=r1(2r−因为(θ))=2−r因为(θ)
求出具有磁矢量势的区域内的磁场 一个 ⃗ = 罪 ( θ ) r ^ − r θ ^ . \vec{A} = \sin(\theta)\hat{r} - r\hat{\theta}。 一个 =罪(θ)r^−rθ^.
自 一个 ⃗ vec{一}\ 一个 是在球坐标,使用旋度的球面定义。
B ⃗ = 1 r 罪 θ ( ∂ ∂ θ ( 一个 φ 罪 θ ) − ∂ 一个 θ ∂ φ ) r ^ + 1 r ( 1 罪 θ ∂ 一个 r ∂ φ − ∂ ∂ r ( r 一个 φ ) ) θ ^ + 1 r ( ∂ ∂ r ( r 一个 θ ) − ∂ 一个 r ∂ θ ) φ ^ \begin{aligned} \vec{B} = \frac{1}{r\sin\theta} \左(\frac{\ varphi\ partial}{\ \partial \theta} \左)- \frac{\ \varphi\右)&\hat{\mathbf r} \\ \\ {}+ \frac{1}{r} \左(\frac{1}{\sin\theta} \\ \frac{1}{r} \左(r A_\ \sin\theta} \frac{\ \partial \r}} \左(r A_\ \varphi\右)&\hat{\ \partial}{\ \partial \r} \左(\frac{\ \partial \theta} \\ \左)&\hat{\ \boldsymbol \theta} \\ \\ \& \帽子{\ boldsymbol \ varphi} \{对齐}结束 B =r罪θ1(∂θ∂(一个φ罪θ)−∂φ∂一个θ)+r1(罪θ1∂φ∂一个r−∂r∂(r一个φ))+r1(∂r∂(r一个θ)−∂θ∂一个r)r^θ^φ^
唯一能存活下来的部分 一个 ⃗ vec{一}\ 一个 是
B ⃗ = 1 r ( ∂ ∂ r ( r 一个 θ ) − ∂ 一个 r ∂ θ ) φ ^ = 1 r ( 2 r − 因为 ( θ ) ) = 2 − 因为 ( θ ) r \开始vec {B} & ={对齐}\ \压裂{1}{r} \大(\压裂{\部分}{\部分r} (r现代\θ)- \压裂{\部分A_r}{\部分\θ}\大)\帽子{\ varphi} \ \ & = \压裂{1}{r} \大(2 r - \ cosθ)(\ \大)\ \ & = 2 - \压裂{\ cosθ(\)}{r} \{对齐}结束 B =r1(∂r∂(r一个θ)−∂θ∂一个r)φ^=r1(2r−因为(θ))=2−r因为(θ)
的偏导数的磁矢量势部分地促成了感应电场根据法拉第定律.
E ⃗ = − ∂ 一个 ⃗ ∂ t \vec{E} = - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} E =−∂t∂一个
记得法拉第定律: ∇ × E ⃗ = − ∂ B ⃗ ∂ t \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} ∇×E =−∂t∂B ∇ × E ⃗ = − ∂ ( ∇ × 一个 ⃗ ) ∂ t \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \大(\nabla \times \vec{A} \大)}{\partial t} ∇×E =−∂t∂(∇×一个 ) ∇ × E ⃗ = − ∇ × ∂ 一个 ⃗ ∂ t \nabla \times \vec{E} = - \nabla \times \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} ∇×E =−∇×∂t∂一个 → E ⃗ = − ∂ 一个 ⃗ ∂ t \rightarrow \vec{E} = - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} →E =−∂t∂一个
记得法拉第定律:
∇ × E ⃗ = − ∂ B ⃗ ∂ t \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} ∇×E =−∂t∂B
∇ × E ⃗ = − ∂ ( ∇ × 一个 ⃗ ) ∂ t \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \大(\nabla \times \vec{A} \大)}{\partial t} ∇×E =−∂t∂(∇×一个 )
∇ × E ⃗ = − ∇ × ∂ 一个 ⃗ ∂ t \nabla \times \vec{E} = - \nabla \times \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} ∇×E =−∇×∂t∂一个
→ E ⃗ = − ∂ 一个 ⃗ ∂ t \rightarrow \vec{E} = - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} →E =−∂t∂一个
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