楞次定律gydF4y2Ba

楞次定律gydF4y2Ba声明每当发生变化时gydF4y2Ba磁通gydF4y2Ba通过导电回路，电流产生电流gydF4y2Ba磁场gydF4y2Ba这平衡了变化，即保持gydF4y2Ba $\int_A \vec{B}\cdot \vec{n}gydF4y2Ba$常数。这是……的结果gydF4y2Ba法拉第感应定律gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

外部施加的磁场通过一个区域会产生电流。由感应电流产生的感应磁场根据伦茨定律与外界磁场相反。gydF4y2Ba

当磁场gydF4y2Ba $vec {B} \gydF4y2Ba$通过一个闭合传导环的面积gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$时，会产生磁通量:gydF4y2Ba $\Phi_B = \vec{B} \cdot \vec{A}gydF4y2Ba$在这里gydF4y2Ba $vec{一}\gydF4y2Ba$是单位向量，它指向与环所包围的曲面处处正交。上面的点积意味着与环成一定角度的磁场通过环的磁通量要小于与环平面正交的磁场。形式上，如果回路不在平面上，通量就写成在回路所包围的表面上的积分:gydF4y2Ba $\Phi_B = \int \vec{B} \cdot d\vec{A}gydF4y2Ba$

如果线圈是螺线管或其他线圈有许多圈，线圈的每一圈通常近似于它的圆形横截面和通量的总和在每一圈。gydF4y2Ba

法拉第感应定律gydF4y2Ba指出当通过闭合导电环的磁通量随时间变化时，一个gydF4y2BaemfgydF4y2Ba在那个循环中被诱导:gydF4y2Ba $文本\ varepsilon_{\{诱导}}= - \压裂{d \ Phi_B} {dt}。gydF4y2Ba$

因为回路是导电的，所以它有一些电阻gydF4y2Ba $RgydF4y2Ba$，电动势诱导电流根据gydF4y2Ba欧姆定律gydF4y2Ba：gydF4y2Ba $I_{\文本{诱导}}= \压裂{\ varepsilon_{\文本{诱导}}}{R} = - \压裂{1}{R} \压裂{d \ Phi_B} {dt}。gydF4y2Ba$

接着，感应电流产生磁场gydF4y2Ba安培定律gydF4y2Ba，它本身有一个通过闭环的通量。根据伦茨定律，感应电流的方向和由此产生的感应磁通量与原磁通量相反。重要的是要注意通量变化的方向可能是gydF4y2Ba相反gydF4y2Ba向着场的方向，例如，如果场的强度在减小，或者场在倾斜。gydF4y2Ba

由于感应电流的符号决定感应磁通量的方向，法拉第定律中的负号通常也被称为伦茨定律，而不是概念上的表述。gydF4y2Ba

伦茨定律是允许的gydF4y2Ba电感器gydF4y2Ba在电路中发挥作用。当电流在电路中迅速变化时，电感器之间有一个很大的电压。这是因为电感器经常gydF4y2Ba螺线管gydF4y2Ba或者说是电流产生磁通量的环面。当电流迅速变化时，磁通量迅速变化，并诱导出与电流原始变化相反的大电动势。gydF4y2Ba

用伦茨定律解释一个简单的电动机是如何工作的。gydF4y2Ba

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解决方案:gydF4y2Ba

作为一个简单的电机，考虑一个固定在垂直磁场中的线圈，这样线圈中没有磁通量:gydF4y2Ba

在垂直磁场中的线圈面积矢量gydF4y2Ba $vec{一}\gydF4y2Ba$因为导线的平面垂直于磁场，所以没有磁通量。gydF4y2Ba

如果线圈稍微旋转，面积矢量和磁场之间的角度不再为零。因此，磁通量随时间增加。根据法拉第的感应定律，这就产生了电动势，在线圈中产生电流。这种感应电流产生一个与外加磁场相反的磁场，因为外加磁场的通量在增加:gydF4y2Ba

当线圈倾斜时，面积矢量gydF4y2Ba $vec{一}\gydF4y2Ba$不再垂直于施加的磁场gydF4y2Ba $vec {B} \gydF4y2Ba$，因此外加场的磁通量增大。这就产生了电动势，从而在线圈中产生了电流，从而产生了与应用磁场相反的感应磁场。gydF4y2Ba

现在回想一下，相同磁极的永磁体相互排斥，相反磁极的永磁体相互吸引。其原因是对极具有平行的磁力线，而同极具有反平行的磁力线。在这里，感应磁场的垂直分量从线圈点反平行于应用场，作为一个“像极”。这导致施加的场向下推线圈，排斥感应场，导致线圈旋转(假设线圈一侧的场比另一侧弱)。gydF4y2Ba

一旦线圈翻转一半，磁通量将开始减少，线圈上的力将在相反的方向上起作用。为了抵消这一点，线圈的一侧通常覆盖绝缘材料，以减少流过线圈的电流。因此，通过最初快速改变线圈的角度，可以从线圈中产生非常大的电动势和大的感应磁场，从而使线圈快速旋转以完成完整的旋转。然后循环再次开始，驱动线圈通过另一个完整的革命等等。gydF4y2Ba

证明伦茨定律的一个常见实验是“磁滴”实验。在这个实验中，一块(通常是强力的钕)磁铁通过一根传导管，传导管通常是铜制的。磁铁下落时变化的磁通量在管中产生电流，产生与永磁体磁场相反的磁场。由于磁铁的同极相斥，而感应磁场似乎是磁铁两端的同极，因此施加在永磁体上的磁力因重力而减缓其下落速度。gydF4y2Ba

一个强大的磁铁落在铜管中，通过伦茨定律使铜管悬浮;在这里，短铜管反复旋转，以保持磁铁悬浮[2]。gydF4y2Ba

永久磁铁:有质量的永久磁铁gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$是在一根长长的铜管中间释放出的电阻gydF4y2Ba $RgydF4y2Ba$以及截面积gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$如上所述。使永磁体的磁场强度下降的近似如下提示1所示gydF4y2Ba $我gydF4y2Ba$被某个常数取代gydF4y2Ba $I_0gydF4y2Ba$．求出磁铁的速度作为时间的函数，如果磁铁在gydF4y2Ba $t = 0gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

提示1:由半径的电流环引起的磁场的大小gydF4y2Ba $\ρgydF4y2Ba$沿环轴为:gydF4y2Ba

$B = \frac{\mu_0 I \rho}{2(\rho^2+z^2)^{3/2}}。gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $zgydF4y2Ba$这个距离是沿环轴和的吗gydF4y2Ba $我gydF4y2Ba$是回路中的电流。gydF4y2Ba

提示2:两个磁偶极矩之间的力为gydF4y2Ba

$F = |\nabla (\vec{m} \cdot \vec{B})|gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$场是由一个偶极矩和gydF4y2Ba $m = IAgydF4y2Ba$另一个偶极矩呢gydF4y2Ba $我gydF4y2Ba$有效电流和gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$将第二偶极子视为电流回路的横截面积。gydF4y2Ba

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解决方案:gydF4y2Ba

在远处gydF4y2Ba $rgydF4y2Ba$向下，通过管的圆形截面的磁通量变化率的大小为:gydF4y2Ba

$\ \压裂{d Phi_B} {dt} = \压裂{dB} {dt} = \压裂{d} {dt} \离开(\压裂{\ mu_0 I_0 \ sqrt{/ \π}}{2((/ \π)+ r ^ 2 (t)) ^{3/2}} \右)= - \压裂{3 \ mu_0 I_0 r (t) v (t)大概{}\ \π^ 2}{2 (A + \πr (t) ^ 2) ^{5/2}}。gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $I_0gydF4y2Ba$是描述永磁体作为磁偶极子的有效强度的常数。gydF4y2Ba

因此，在包围该截面的铜环中感应的电流大小为:gydF4y2Ba

$我(t) = \压裂{3 \ mu_0 I_0 r (t) v (t)大概{}\ \π^ 2}{2 r (A + \πr (t) ^ 2) ^{5/2}}。gydF4y2Ba$

在下落的磁铁下面，磁通量随着时间的推移而增加。电流的方向因此产生了一个与永磁体磁场相反的磁场，它将表现为排斥力。在下落的磁铁上方，磁通量为gydF4y2Ba减少gydF4y2Ba随着时间的推移。因此，电流的方向产生了一个与永磁体方向相同的磁场，这将表现为一个吸引力。这两个效应减缓了永磁体的下落速度。gydF4y2Ba

利用提示2，铜环偶极矩与永磁体磁场之间的力为:gydF4y2Ba

$F = AI (t) | \微分算符(B (t) | = \压裂{3 \ mu_0 I_0 r (t) v (t) ^{3/2} \π^ 2}{2 r (A + \πr (t) ^ 2) ^{5/2}} \离开(\压裂{3 \ mu_0 I_0大概{π/ \}\ r (t)} {2 (A / \ pi + r (t) ^ 2) ^{5/2}} \右)= \压裂{9 \ mu_0 ^ 2 I_0 ^ 2 r (t) ^ 2 v (t) ^ 2 \π^ 4}{4 r (A + \πr (t) ^ 2) ^{5}}。gydF4y2Ba$

这就是永久磁铁上的一个电流环所产生的力。为了求出作用在永磁体上的总力，必须在的两个方向上积分gydF4y2Ba $r (t)gydF4y2Ba$上面和下面的永磁体。请记住，上面的力只是一个大小，而且力的函数是偶数，它足以计算一个方向上的力并将其加倍:gydF4y2Ba

$f{\ \{对齐}开始文本{总}}& = 2 \ int_0 ^ {\ infty} \压裂{9 \ mu_0 ^ 2 I_0 ^ 2 r (t) ^ 2 v (t) ^ 2 \π^ 4}{4 r (A + \πr (t) ^ 2) ^{5}} = \博士压裂{9 \ mu_0 ^ 2 I_0 ^ 2 v (t) ^ 2 \π^ 4}{2 r} \ int_0 ^ {\ infty} \压裂{r (t) ^ 2} {(A + \πr (t) ^ 2) ^{5}} \ \ & = \博士压裂{9 \ mu_0 ^ 2 I_0 ^ 2 v (t) ^ 2 \π^ 4}{2 r} \离开(\压裂{5}{256 \ sqrt{\π}^{7/2}}\右)= \压裂{45 \ mu_0 ^ 2 I_0 ^ 2 \π^ {3/2}}{512 r ^ {3/2}} v (t) \{对齐}结束gydF4y2Ba$

力的形式是agydF4y2Ba粘性阻尼力gydF4y2Ba与速度成正比，这很好地检验了上述讨论的有效性。gydF4y2Ba

最后，写下牛顿第二定律就可以求出速度了。磁铁被重力加速，重力与上面写的磁力相反:gydF4y2Ba

$Mv ' (t) = Mg - \压裂{45 \ mu_0 ^ 2 I_0 ^ 2 \π^ {3/2}}{512 R ^ {3/2}} v (t)。gydF4y2Ba$

根据参数定义常数gydF4y2Ba $I_0gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $RgydF4y2Ba$,gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$：gydF4y2Ba

$45 \ \ kappa = \压裂{mu_0 ^ 2 I_0 ^ 2 \π^ {3/2}}{512 R ^{3/2}}。gydF4y2Ba$

牛顿第二定律是这样的gydF4y2Ba

$Mv'(t) = Mg - \kappa v(t)。gydF4y2Ba$

有初始条件的一阶ODEgydF4y2Ba $V (0) = 0gydF4y2Ba$由于永磁体从静止状态掉落，用:gydF4y2Ba

$v (t) = \压裂{Mg} {\ kappa} \离开(1 - e ^{- \压裂{\ kappa t} {M}} \右)= \压裂{512毫克R ^ {3/2}} {45 \ mu_0 ^ 2 I_0 ^ 2 \π^{3/2}}\离开(1 - e ^{- \压裂{\ kappa t} {M}} \右)。gydF4y2Ba$

在后期，永磁体接近终端速度gydF4y2Ba $\压裂{Mg} {\ kappa}gydF4y2Ba$指数增长迅速。此外，如果永磁体较弱(gydF4y2Ba $\kappa \约0gydF4y2Ba$)上述RHS可进行泰勒展开:gydF4y2Ba

$v (t) \大约\压裂{Mg} {\ kappa} \离开(\压裂{\ kappa t} {M} - \压裂{\ kappa ^ 2 t ^ 2} {2 M ^ 2} \右)= gt - \压裂{\ kappa g t ^ 2}{2}。gydF4y2Ba$

这在早期对通常的线性增长提供了一个小的负修正gydF4y2Ba $gtgydF4y2Ba$速度，正如预期的那样。gydF4y2Ba

在整个计算过程中进行了许多近似:将磁偶极子近似为一个电流环，近似为管长且横截面小，因此边缘效应不显著，并且假设磁体与每个电流环的相互作用可以很好地用偶极子-偶极子相互作用来模拟。然而，上面得到的解析表达式很好地捕捉了物理场景的定性行为。当管的横截面较宽或电阻较大时，感应电流较小，阻尼很慢，且终端速度较高。如果gydF4y2Ba $I_0gydF4y2Ba$较大时，永磁体非常强，诱导出较强的阻尼作用，与上面发现的末端速度小而阻尼速度高相一致。gydF4y2Ba

同样的效果在核磁共振扫描仪中也可见到，它就像具有更强磁场的管子。下图，伦茨定律在MRI的磁场中铝棒的慢动作中得到了证明:gydF4y2Ba

核磁共振成像的强大磁场会从铝棒中诱导出一个磁场，从而产生对抗重力的力。门槛在下降gydF4y2Ba实时地gydF4y2Ba[3]。gydF4y2Ba

[1]珀塞尔，E.M.gydF4y2Ba电与磁gydF4y2Ba．第三版。剑桥大学出版社，2013年。gydF4y2Ba

[2]节选自https://www.youtube.com/watch?v=keMpUaoA3Tg使用GIPHY.com。gydF4y2Ba

[3]节选自https://www.youtube.com/watch?v=liDjr439-fY使用GIPHY.com。gydF4y2Ba