平均和瞬时变化率

我们随处都能看到变化。当我们向上投射一个球时，它的位置随时间而变化，它的速度也随位置的变化而变化。人的身高随时间而变化。股票和期权的价格随时间而变化。商品的均衡价格随着需求和供给的变化而变化。黑体辐射出的能量随着其温度的变化而变化。球体的表面积随着半径的变化而变化。这个清单永远不会结束。测量和研究这些变化是令人惊奇的。

这些变化取决于许多因素;例如，黑体辐射的能量取决于它的表面积和温度。我们将研究只有一个因素是变化的，而所有其他因素都是固定的情况。然后我们可以将系统建模为 $Y = f(x)，$在哪里 $y$有关的变化 $x$．

测量变化的一种方法是查看给定区间的端点。

如果 $Y_1 = f(x_1)$而且 $Y_2 = f(x_2)$,平均的变化率 $y$关于 $x$在从 $x_1$来 $x_2$平均变化在吗 $y$的单位增量 $x$．它等于

$\ dfrac{\δy}{\δx} = \ dfrac {y_2 - y_1} {x_2 - x_1},$

在哪里 $\δx$而且 $\δy$是在 $x$而且 $y,$分别。

请看下图:

作为 $x$增加了 $\δx$， $y$增加了 $\δy$．所以我们可以说，平均，每增加一个单位 $x$， $y$增加了 $\frac{\ y}{\ x}$，因此这是平均变化率。 $_ \广场$

一辆汽车在平行于广场的笔直道路上行驶 $x$设在。在 $T = 0$几秒钟后，汽车停在 $X = 2$米;在 $T = 6$几秒钟后，汽车停在 $X = 14$米。求的平均变化率 $x$-汽车相对于时间的坐标。

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用这个公式，我们得到

$文本\{率}= \ dfrac{\δx}{\δt} = \ dfrac {14 - 2} {6 - 0} {m / s} = 2 \文本。\ _ \广场$

平均变化率告诉我们变化率是多少 $y$在一段时间内增加。它只告诉我们平均值，没有中间的信息。我们不知道函数在区间内的表现。下面的动画说明了这一点。在所有情况下，平均变化率是相同的，但在每种情况下，函数是非常不同的。

如果我们 $\δx$越小，我们就能得到更准确的表示 $y;$作为 $\δx$倾向于 $0$，间隔变得越来越小，直到它变成一个点，一个瞬间。那么变化的速度就不是平均的，而是瞬间的。它是瞬时变化率 $y$关于 $x$．我们把它表示为 $文本\压裂{\ d {} y} {x文本\ d {}}$．

数学上,

$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = \displaystyle \lim _{\ x\rightarrow 0} \dfrac{\ y}{\ x}，$

在哪里 $文本\压裂{\ d {} y} {x文本\ d {}}$瞬时变化率是多少 $y$关于 $x$．它也叫做的导数 $y$关于 $x$．

注1:我们可以看到 $文本\压裂{\ d {} y} {x文本\ d {}}$只有极限存在时才会存在。例如，在动画中的绿色图形中， $文本\压裂{\ d {} y} {x文本\ d {}}$在某些有限离散点(图中的边)上不存在。要找出这些点的瞬时变化率是不可能的。

注2:的很小的值 $\δx$，我们可以看到 $文本\压裂{\ d {} y} {x文本\ d{}} \大约\压裂{\δy}{\δx}。$

我们来解几个例子。

让 $Y = 2x \ln x$．

的变化率是多少 $y$关于 $x$当(我) $X = e$和(2) $Y = 4e^2?$

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这个问题要求评估 $文本\压裂{\ d {} y} {x文本\ d {}}$的给定值 $x$而且 $y$．要求导这个表达式，我们必须知道乘法法则和微分对数函数．我们有

$\开始{对齐}\压裂{y文本\ d {}} {x文本\ d{}} & = \压裂{文本\ d{}}{\文字d} {x} \左(右2 x \ lnx \) \ \ & = 2 \压裂{文本\ d{}}{\文字d} {x} \离开(x \ lnx \) \ \ & = 2 \离开(x \ cdot \压裂{文本\ d{}}{\文字d} {x} \离开(\ lnx \右)+ \ lnx \ cdot \压裂{文本\ d{}}{\文字d} {x} \左(x \) \右)\ \ & = 2 \离开(\压裂{x} {x} + \ lnx \) \ \ & = 2 \离开(1 + \ lnx \右)。结束\{对齐}$

(i)我们现在以 $X = e$．当 $X = e$， $文本\压裂{\ d {} y} {x文本\ d {}} = 2 (1 + \ ln e) = 2 \ cdot(1 + 1) = 4。$

(2)当 $Y = 4e^2，$ $X = e^2$而且 $文本\压裂{\ d {} y} {x文本\ d {}} = 2 (1 + \ ln e ^ 2) = 2 \ cdot(1 + 2) = 6。$ $_ \广场$

红色立方体有边长 $一个,$而且 $一个$随着时间的变化是这样的吗 $A (t) = a_{\text{0}} t^2$．

求出红色立方体体积随时间变化的瞬时变化率。

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设红色立方体的体积为 $V$．我们知道 $V = a^3 = (a_{\text{0}} t²)^3。$

我们被要求找到 $文本\压裂{\ d {} V} {{d} t} \文本$．我们可以通过以下两种方法来解决这个问题:

解决方案1:我们首先发现 $V$然后 $文本\压裂{\ d {} V} {{d} t} \文本$．

我们知道

$\{对齐}开始V & = ^ 3 \ \ & =(现代文本{0}}{\ t ^ 2) ^ 3 \ \ & =现代文本{0}}{\ ^ 3 \ cdot t ^ 6 \ \ \ \ \ dfrac {V文本\ d{}}{文本\ d {} t} & = 6现代文本{0}}{\ ^ 3 \ cdot t ^ 5 \{对齐}结束$

我们做完了!

解决方案2:首先我们发现 $\压裂{\文本{d}}{文本\ d {} t}$然后 $文本\压裂{\ d {} V} {{d} t} \文本$．

利用幂法则， $\frac{\text{d}a}{\text{d}t} = 2 a_{\text{0}} t。$

用链式法则求导 $V = a^3$，我们有

$文本\ dfrac {\ d {} V}{文本\ d {} t} = 3 ^ 2 \ cdot \ dfrac{\文本{d}} {d} t}{\文本。$

的值替换后 $3 ^ 2$而且 $\压裂{\文本{d}}{文本\ d {} t}$时，得到与上相同的结果:

$文本\ dfrac {\ d {} V}{文本\ d {} t} = 3现代文本{0}}{\ ^ 2 \ cdot t ^ 4 \ cdot 2现代文本{0}}{\ t = 6现代文本{0}}{\ ^ 3 \ cdot t ^ 5。\ _ \广场$

在一个空心的倒蓝色圆锥体(顶点向下)的半径 $r$和高度 $h$时，水以恒定的速率注入 $l$．

求在某一时刻圆锥体中水的高度的瞬时变化率 $t$(假设蛋筒还没有完全装满)。

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要添加的解决方案…