Hopcroft-Karp算法

的Hopcroft-Karp算法是一个算法这需要一个两偶图 $G (E, V)$和输出一个最大匹配， $米$．它在最坏情况下运行 $E O \大(| | \ sqrt {V | |} \大)$时间。

Hopcroft-Karp算法使用的技术与匈牙利算法而且埃德蒙兹的开花算法．像那些算法一样，Hopcroft-Karp通过确定增宽路径来反复增加部分匹配的大小。然而，Hopcroft-Karp通过找到最短的最大集合，改进了其他算法增广路径每次迭代，并按最大流量增加增广路径，而不是逐个增加。

在实践中，研究人员发现Hopcroft-Karp方法并不像理论所暗示的那样好——它的表现常常被广度优先而且深度优先求增广路径的方法。^[1]

不像简单的匹配算法，比如匈牙利最大匹配算法Hopcroft-Karp算法在每一轮迭代中都能找到一个最大的最短扩充路径集。因为这，只有 $大O \ \√n \大)$需要迭代算法。

伪代码

的双分区中定义两组顶点 $G$， $U$而且 $V$，节点数量相等。中节点之间的匹配或边集 $U$和节点 $V$被称为 $米$．

一个简单的二部图^[２]

该算法分阶段运行，由以下步骤组成。^[3]

• 使用一个广度优先搜索求增广路径。它将图的顶点划分为层边的匹配和不匹配。对于搜索，从空闲节点开始 $U$．这形成了分区的第一层。搜索在第一层结束 $k$一个或多个空闲节点在哪里 $V$是达到了。
• 中的空闲节点 $V$都被添加到一个叫做 $F$．这意味着添加到的任何节点 $F$将是增广路径的结束节点——并且是最短的增广路径，因为宽度优先搜索找到最短路径。^[4]
• 一旦发现了增广路径，a深度优先搜索是否用于向当前匹配添加扩展路径 $米$．在任何给定的层上，深度优先搜索将跟踪指向前一层中未使用节点的边。深度优先搜索树中的路径必须是交替路径(在匹配和不匹配的边之间切换)。一旦算法找到一条使用节点的增广路径 $F$，深度优先搜索移动到下一个起始顶点。

当在广度优先搜索步骤中找不到更多的增广路径时，算法终止。

这个问题试图将数字与字母匹配，以最大化匹配的数量。这将需要两个基本步骤，迭代直到算法找到一个完美的匹配:

1. 使用BFS在L中不匹配的顶点处构建一个交替水平图。
2. 使用DFS用顶点不相交的最短长度路径的最大集合来增加M。

观察有边但没有指定匹配的图。

没有任何指定匹配的原始图

从没有匹配的所有数值顶点开始执行BFS。选择任何不匹配的叶，并使用DFS一直返回到根。把叶和根匹配起来。

匹配一个来1

的所有实例1而且一个在树上发现的。

重复此过程以查找下一个匹配项。匹配b来2和删除b从树形中生成3.．

在这个迭代,1是匹配的一个，2是匹配的b,3.,连同c没有火柴。

自3.没有匹配，执行BFS从3.为了找到一个匹配，或断言当前匹配已经是最优的。

黄色的边表示先前找到的匹配，蓝色的边表示未匹配的边。

再次执行DFS，从不匹配的叶一直执行到根。

DFS从c来1,一个，终止于3.．

通过切换匹配的边和不匹配的边来增加路径。

现在1是与c而且3.是与一个．

这将产生图中数字和字母之间的最大匹配。

算法的最大匹配与终止

另一种终止算法的方法发生在路径扩展步骤没有产生更多的匹配时。在这种情况下，即使不是所有顶点都匹配，也会找到最大匹配。^［5］

Hopcroft-Karp算法每次迭代执行一次广度优先搜索和深度优先搜索。这需要 $O (E)$时间。由于算法的每次迭代都通过消除从根到不匹配边的路径来寻找最短增广路径的最大集合，因此最多 $大O \ \√V \大)$需要迭代。

对于密集图，运行时间为 $V O \大(| | ^{2.5}\大)$和随机图，运行时间为 $V O \大(| | \大)$．对于稀疏图，它在最坏情况下运行 $E O \大(| | \ sqrt {V | |} \大)$时间。^[6]

• 匹配算法
• 树的遍历
• 匈牙利匹配
• 开花的算法

1. ， .Hopcroft-Karp算法．检索于2016年6月19日https://en.wikipedia.org/wiki/Hopcroft%E2%80%93Karp_algorithm
2. , M。Simple-bipartite-graph.svg．检索于2016年6月18日https://en.wikipedia.org/wiki/File:Simple-bipartite-graph.svg
3. Gupta, R。最大匹配Hopcroft-Karp算法．从检索http://www.geeksforgeeks.org/hopcroft-karp-algorithm-for-maximum-matching-set-2-implementation/
4. ， .Hopcroft-Karp算法．检索自2016年6月29日https://en.wikipedia.org/wiki/Hopcroft%E2%80%93Karp_algorithm
5. Chauhan D。hopcroft-karp算法．从检索https://www.youtube.com/watch?v=pJHdqbxvZOI
6. ， .Hopcroft-Karp算法．检索于2016年6月30日https://en.wikipedia.org/wiki/Hopcroft%E2%80%93Karp_algorithm