几何发展

一个几何级数(GP)，也称为几何序列，是一个数字序列，每个数字之间的差异是一个常见的比率．例如，序列 $2,4,8,16， \点$是一个公比的几何数列吗 $2$．

我们可以通过求任意两个相邻项之间的比值来求出一个GP的公比。

下面的数列是具有初始项的几何级数 $10$和常见的比 $3.$：

$\LARGE \color{#3D99F6}{10} \underbrace{\quad \quad}_{\times 3} \color{#D61F06}{30} \underbrace{\quad \quad}_{\times 3} \color{#20A900}{90} \underbrace{\quad \quad}_{\times 3} \color{#青色}{270}\underbrace{\quad \quad}_{\times 3} \color{orangered}{810} \underbrace{\quad \quad}_{\times 3} \color{grey}{2430}$

重要术语

• 初始项:在几何级数中，第一个数称为“初始项”。
• 公比:数列中某一项与前一项之比，称为“公比”。

递归公式

我们可以用一个递归公式来描述一个几何序列，它规定了每一项与前一项之间的关系。由于在几何级数中，每一项都是由前一项与公比的乘积给出的，我们可以写成递归描述如下:

$\text{Term} = \text{Previous Term} \times \text{Common ratio}。$

更确切地说，用公约数比 $r$,我们有

$an =现代{n} \乘以r。$

显式公式

虽然上面的递归公式允许我们描述序列中各项之间的关系，但能够明确描述序列中的各项通常是有帮助的，这将允许我们找到任何项。

如果我们知道初始项，下面的项就会通过公倍数的重复乘法与之相关。因此，显式公式为

$\text{Term} = \text{Initial Term} \times \underbrace{\text{Common ratio} \times \dots \times \text{Common ratio}}_{\text{从初始Term开始的步数}}$

用指数，我们可以把它写成公比 $r$,因为

$A_n = a_1 \乘以r^{n-1}。$

注意:根据中间的项而不是初始项计算几何级数中的值有时更容易。当我们从 $k ^{\文本{th}}$词, $n ^{\文本{th}}$级数中的项是

$A_n = a_k \乘以r ^ {n-k}。$

现在让我们来做一些基本的例子，让你熟悉上面的定义。

几何序列的显式公式是什么 $4 12 36 108， \点?$

揭示答案

初始项是 $4$．因为每一项都是前一项和的乘积 $3.$，公比为 $3.$．因此，描述这个序列的公式是

$A_n = 4 \乘以3^{n-1}。\ _ \广场$

如果公比等于初始项一半的几何级数的第四项为 $32，$是什么 $15 ^{\文本{th}}$术语?

揭示答案

设初始项为 $一个,$还有公比 $r$．如问题中所述 $4 ^{\文本{th}}$项是 $基于“增大化现实”技术^ {3}= 32$初始项是 $r = 2$．通过求解这两个联立方程得到

$2r^{4}=32，表示r=2，表示a=4。$

因此, $15 ^{\文本{th}}$项是

$A_ {15}=a \乘以r^{14}=4 \乘以2^{14}=2^{16}。\ _ \广场$

我们有时想求几何级数中某些项的和。当我们想要添加的项的数量很大时，很难一次将所有项都加起来。下面的问题说明了一种可以发展成通用技术的方法:

求第一个的和 $10$下列几何级数的项:

$3、\ 15、\ 75、\ 375、\ 1875、\，\ldots。$

---

让第一个的和 $10$给定级数的项是 $一个,$然后

$A=3+3 \cdot 5 +3 \cdot 5^2+ 3 \cdot 5^9。\ qquad (1)$

乘 $一个$通过 $5，$我们得到了

$5A= 3 \cdot 5 +3 \cdot 5^2+3 \cdot 5^3+ 3 \cdot 5^{10}。\ qquad (2)$

采取 $(1) - (2)$给了

$\{数组}{rllll}开始一个= 3 + 3 \ cdot 5 + 3 \ cdot 5 ^ 2 & + \ cdots + 3 \ cdot 5 ^{9} \ \ 5一个= 0 + 3 \ cdot 5 + 3 \ cdot 5 ^ 2 & + \ cdots + 3 \ cdot 5 ^ {9} & + 3 \ cdot 5 ^{10} \ \ \线(1 - 5)& = 3 + 0 ~ \四+ 0 & + \ cdots + 0和3 \ cdot 5 ^{10} \ \ 4个= 3 - 3 \ cdot 5 ^{10} \ \ \ \一个= \ dfrac {3 \ cdot 5 ^{10} 3}{4}。\ \ _ \广场结束数组{}$

在上面的例子中，我们将几何级数的和乘以它的公比，然后从原来的和中减去结果，发现除了第一项和最后一项，所有的项都消掉了。现在我们可以用同样的方法来求和的一般公式。

对于具有初始项的几何级数 $一个$和常见的比 $r,$第一个的和 $n$条款是

$S_n = \begin{cases}\begin{array}{all} a \cdot \left(\frac{r^n -1}{r -1}\ right) && \text{for}r \neq 1 \\ a \cdot n && \text{for}r = 1。\结束数组{}\{病例}结束$

假设我们要加第一个 $n$几何级数的项。如果 $r = 1$，然后我们有一个常数序列，因此和就是 $n一$．现在，让我们假设 $r \ neq 1,$那么我们就会得到

$S_n = a + a \cdot r + a \cdot r^{n-2} + a \cdot r^{n-1}。\ qquad (1)$

两边同时乘以 $r$给了

$rs_n = a \cdot r + a \cdot r^{n-1} + a \cdot r^{n}。\ qquad (2)$

采取 $(1) - (2),$我们得到了

$\{数组}{rlllllllll}开始S_n& = a + \ cdot " + \ cdot r ^ 2 & + \ cdots + \ cdot r ^ {2} & + \ cdot r ^ {n} \ \ r S_n& = 0 + \ cdot r & + \ cdot r ^ 2 & + \ cdots + \ cdot r ^ {2} & + \ cdot r ^ {n} & + \ cdot r ^ n \ \ \线S_n(第一轮)& = + & 0 & + 0 + \ cdots + 0 & 0 & + - \ cdot r ^ {n} \ \(第一轮)S_n & =一r ^ n。结束\{数组}$

因此,

$S_n = a \times \left(\frac{r^n - 1} {r - 1} \right) ~\text{for} r \neq 1。\ _ \广场$

第一个的和是多少 $10$具有初始项的几何级数的项 $2$和常见的比 $3？$

揭示答案

将上述公式应用于几何级数项的和，我们得到

$2 \乘以frac{3^{10} - 1}{3 - 1} = 3^{10} - 1 = 59048。\ _ \广场$

现在我们知道了如何求有限多项的和，让我们继续求无穷多项的几何级数的和。这是用类似的方法做的，我们先做一个例子。

计算下列几何级数:

$5+ dfrac 53 + dfrac 59 + dfrac{5}{27}+ cdots。$

---

让给定的总和保持不变 $年代,$然后

$S=5+ dfrc 53 + dfrc 59 + dfrc {5}{27}+ cdots。\ qquad (1)$

乘 $年代$通过 $13 \裂缝分析$,我们得到

$\dfrac 13 S= \dfrac 53 +\dfrac 59 +\dfrac{5}{27}+\dfrac{5}{81}+\cdots。\ qquad (2)$

采取 $(1) - (2)$给了

$\开始{数组}{rlllllllll} & = 5 + \ dfrac 53 & + \ dfrac 59 & + \ dfrac {5} {27} & + \ cdots \ \ \ dfrac 13 & = 0 + \ dfrac 53 & + \ dfrac 59 & + \ dfrac {5} {27} & + \ dfrac {5} {81} & + \ cdots \ \ \线年代\离开(1 - 13 \ \ dfrac右)& = 5 + 0 & + & 0 & + 0 + 0 & + \ cdots \ \ \ cdot \ dfrac 23 & = 5 \ \ & = {\ dfrac{15}{2}}。\ \ _ \广场结束数组{}$

请注意，我们使用了相同的技巧，乘上公约数再减去!事实上，这个技巧可以用来找到一个几何级数的无穷项的和的一般公式。我们开始吧:

对于具有初始项的几何级数 $一个$和常见的比 $r$令人满意的 $|r| < 1，$几何级数的无穷项之和为

$S_{{inty} = {frac{a} {1-r}。$

当 $-1 < r < 1$,因为 $n$成为任意大, $r ^ n$倾向于零。因此,以<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/limits-of-sequences/" class="wiki_link" title="序列极限" target="_blank">序列极限,我们得到

$S_\infty = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a (1-r ^n)} {1-r} = \frac{a} {1-r}。\ _ \广场$

几何证明：

我们也可以直观地考虑这个公式。如果 $年代$级数和初始项的和是多少 $一个$，我们可以构造一个正方形和一个三角形，如下所示:

我们可以看到，大三角形和正方形左侧的倒三角形是相似的。因此通过相似,

$\压裂{年代}{}= \压裂{一}{安巴尔}。$

解 $年代$,我们得到

$S = \压裂{一}{第一轮}。\ _ \广场$

当你的网球着地后，它会弹回到它坠落高度的三分之二。当它从高度下降到静止之前，总垂直距离是多少 $100 \文本m} {?$

揭示答案

让 $h$为球下落的高度(以米为单位)，并且 $e$这样的数字 $0 < e < 1。$同时,让 $年代$是球静止前所覆盖的垂直总距离。然后

$\开始{对齐}& = h + 2 (eh) + 2 \大(e ^ 2 h \大)+ 2 \大(e ^ 3 h \大)+ 2 \大(e ^ 4 h \大)+ \ cdots \ \ & = h + 2嗯\大(1 + e + e ^ 2 + e ^ 3 + \ cdots \大)\ \ & = h + 2 eh \ * \ dfrac{1}{单电子}\ qquad \ qquad \ qquad \ qquad(\文本自}{e < 1) \ \ & = \左(\ dfrac {1 + e}{单电子}\右)h。\{对齐}结束$

因为我们有 $h = 100$和 $e = \ frac23,$

$左(\ S = \ dfrac{1 + \压裂23}{1 - 23 \压裂}\右)100 = 500 {(m)} \文本。\ _ \广场$

求几何级数的和

$5 - \压裂{10}{3}+ \压裂{20}{9}- \压裂{40}{27}+ \ cdots。$

揭示答案

观察给定的级数是具有初始项的几何级数 $一个= 5$和常见的比 $r = \压裂{2}{3}。$然后自 $1 < r < 0,$级数是收敛的，我们将使用无穷和的公式 $S = \压裂{一}{第一轮}$求给定级数的值。因此

$(1- 1) (1- 2) (1- 2) (1- 2) (1- 2) (1- 2) (1- 2) (1- 2)\ _ \广场$

既然我们已经熟悉了以上的概念，让我们来试着解决下面的一些问题:

• 等差数列
• 算术和几何级数问题解决