γ函数

的γ函数，表示为 $\γ(s)$，由公式定义

$\Gamma (s)=\int_0^{\infty} t^{s-1} e^{-t}\， dt，$

它适用于除非正整数外的所有复数。它经常用于分析语境中的恒等式和证明。

上述积分也称为第二类欧拉积分．它作为阶乘函数的扩展，阶乘函数仅为正整数定义。事实上，它是阶乘的解析延拓，定义为

$\γ(n) = (n - 1) !．$

然而，函数只是一类多函数中的一个，它们也是在非正整数处具有极点的亚纯函数。

泛函方程

$\γ(s + 1) = s \γ(s)$

对所有的值都成立吗 $s \in \mathbb{C}$；这可以从的应用中推导出来分部积分法．

回想一下上面函数的定义，我们可以看到，通过分部积分，

$\γ(s + 1) = \ int_0 ^ {\ infty} t ^{年代}e ^ {- t} \, dt = - t ^{年代}e ^ {- t} \大| _0 ^ {\ infty} + s \ int_0 ^ {\ infty} t ^ {1} e ^ {- t} \, dt = s \伽马(s)。$

因此，泛函方程成立。 $_ \广场$

注意的是, $\Gamma(1) = 1$，我们可以很容易地看到 $\Gamma(s) = (s-1)!$对于所有正整数 $年代$通过简单的归纳．

评估

$\压裂{\伽马\离开(\压裂{5}{2}\右)}{\伽马\离开(\压裂{1}{2}\右)}。$

---

利用函数的泛函方程，我们得到了它

$\压裂{\伽马\离开(\压裂{5}{2}\右)}{\伽马\离开(\压裂{1}{2}\右)}= \压裂{\ dfrac{3}{2} \伽马\离开(\压裂{3}{2}\右)}{\伽马\离开(\压裂{1}{2}\右)}= \压裂{\ dfrac{3}{2} \压裂{1}{2}\伽马\离开(\压裂{1}{2}\右)}{\伽马\离开(\压裂{1}{2}\右)}= \压裂{3}{4}。\ _ \广场$

$\γ(s) = \ lim_ {n \ \ infty} \离开(\ dfrac {n ^ s}{年代}\ prod_ {k = 1} ^ n \ dfrac {k} {s + k} \右)$

考虑积分

$S = \ int_0 ^ n t ^{1} \离开(1 - \ dfrac {t} {n} \右)^ n \, dt。$

用分部积分法，

$S = \离开了。t ^ s \ dfrac{}{年代}\离开(1 - \ dfrac {t} {n} \右)^ n \对吧| _0 ^ n + \ dfrac {n} {ns} \ int_0 ^ n t ^{年代}\离开(1 - \ dfrac {t} {n} \右)^ {n} dt = \ dfrac {n} {ns} \ int_0 ^ n t ^{年代}\离开(1 - \ dfrac {t} {n} \右)^ {n} dt。$

我们可以通过分部积分来推导 $n - 1$时间，我们会得到

$S = \ dfrac {n} {ns} \ dfrac {n} {n (S + 1)} \ dfrac {n} {n (S + 2)} \ cdots \ dfrac {1} {n (S + n - 1)} \ int_0 ^ n t ^ {S + n - 1} dt。$

求积分，我们有

$S=\dfrac{n^ S}{S} \ pro_ {k=1}^n \dfrac{k}{S +k}。$

设置 $n$向infintiy,

$\ lim_ {n \ \ infty} \ int_0 ^ n t ^{1} \离开(1 - \ dfrac {t} {n} \右)^无损检测= \ lim_ {n \ \ infty} \离开(\ dfrac {n ^ s}{年代}\ prod_ {k = 1} ^ n \ dfrac {k} {s + k} \右)。$

请注意,

$\ lim_ {n \ \ infty} \ int_0 ^ n t ^{1} \离开(1 - \ dfrac {t} {n} \右)^无损检测= \ int_0 ^ \ infty t ^ ^ {1} e {- t} dt = \伽马(s)。$

因此,

$\γ(s) = \ lim_ {n \ \ infty} \离开(\ dfrac {n ^ s}{年代}\ prod_ {k = 1} ^ n \ dfrac {k} {s + k} \右)。\ _ \广场$

$\γ(s) = \ dfrac {e ^{- \伽马年代}}{年代}\ prod_ {k = 1} ^ \ infty e ^ {s / k} \离开(1 + \ dfrac{年代}{k} \右)^ {1}$

考虑

$\γ(s) = \ lim_ {n \ \ infty} \离开(\ dfrac {n ^ s}{年代}\ prod_ {k = 1} ^ n \ dfrac {k} {s + k} \右)。$

然后重写为

$\开始{对齐}\γ(s) & = \ lim_ {n \ \ infty} \离开(\ dfrac{1}{年代}\ exp \大(sH_k-sH_k + s \ ln (n) \大)\ prod_ {k = 1} ^ n \ dfrac {k} {s + k} \) \ \ \ \ & = \ lim_ {n \ \ infty}左(\ \ dfrac{1}{年代}\ exp \离开(\ sum_ {k = 1} ^ n \ dfrac{年代}}{k - s \伽马\)\ prod_ {k = 1} ^ n \离开(1 + \ dfrac{年代}{k} \右)^ {1}\ ) \\\\ &=\ lim_ {n \ \ infty} \离开(\ dfrac {e ^{- \伽马年代}}{年代}\ prod_ {k = 1} ^ n e ^ {s / k} \离开(1 + \ dfrac{年代}{k} \右)^ {1}\)\ \ \ \ & = \ dfrac {e ^{- \伽马年代}}{年代}\ prod_ {k = 1} ^ \ infty e ^ {s / k} \离开(1 + \ dfrac{年代}{k} \右)^{1}。\ _\方形\端{对齐}$

函数有一个很好的复制公式。它可以表述为

$大概{\π}\ \ \γ(2 z) = {2} ^ {2 z 1} \γγ(z) \ \离开(z + \压裂{1}{2}\右)。$

众所周知，这很容易证明。

我们从函数的表示和函数与函数之间的关系开始: $\ displaystyle \ int _{0} ^{\π/ 2}{\罪^ {2 m - 1} {x} \因为^ {2 n - 1} {x} \, dx} = \ dfrac {B (m, n)}{2} = \压裂{\γ(m) \γ(n)}{2 \γ(m + n)}。$把 $m = z$而且 $z n =$得到 ${对齐}\ displaystyle I = \ \开始压裂{\γ(z) \γ(z)}{2 \γ(2 z)} & = \ int _{0} ^{\π/ 2}{\罪^ {2 z 1} {x} \因为^ {2 z 1} {x} \, dx } \\ &= \ 压裂{1}{{2}^ {2 z 1}} \ int _{0} ^{\π/ 2}{\罪^ {2 z 1} {2 x} \, dx}。结束\{对齐}$变量的变化 $2 x = t$而且 $2 \, dx = dt$给了 $我= \ \ displaystyle压裂{1}{{2}^ {2 z}} \ int _{0} ^{\π}{\罪^ {2 z 1} {t} \, dt}。$现在，利用这个性质 $\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2} {f (x) \, dx} = 2 \ int _{0} ^{一}{f (x) \, dx}$如果 $f (x) = f (2)),$我们有 $我= \ \ displaystyle压裂{1}{{2}^ {2 z 1}} \ int _{0} ^{\π/ 2}{\罪^ {2 z 1} {t} \, dt}。$还是用函数，我们有 $I = \dfrac {1}{{2}^{2z}} \dfrac {\Gamma (z)\Gamma \left(\dfrac {1}{2} \right)}{\Gamma \left(z+\dfrac {1}{2} \right)}。$自 $I = \ dfrac{\γ(z) \γ(z)}{2 \γ(2 z)},$我们有 $\ dfrac{\γ(z) \γ(z)}{\γ(2 z)} = \ dfrac {1} {{2} ^ {2 z 1}} \ dfrac{\γγ(z) \ \离开(\ dfrac{1}{2} \右)}{\伽马\离开(z + \ dfrac{1}{2} \右)}。$使用 $\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right) = \√{\pi}$，我们终于 ${2} ^ {2 z 1} \γγ(z) \ \离开(z + \ dfrac{1}{2} \右)= \ sqrt{\π}\ \γ(2 z)。$因此证明。 $_ \广场$

欧拉反射公式如下:

$\Gamma(z)\Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin \pi z}，$

在哪里 $z \in \mathbb{C}。$ $_ \广场$

考虑

$\γ(s) = \ lim_ {n \ \ infty} \离开(\ dfrac {n ^ s}{年代}\ prod_ {k = 1} ^ n \ dfrac {k} {s + k} \右)。$

取代 $年代$与 $- s$得到

$\γ(- s) = \ lim_ {n \ \ infty} \离开(\ dfrac {n ^ {- s}} {- s} \ prod_ {k = 1} ^ n \ dfrac {k} {k - s +} \右)。$

两者相乘得到

$\γ(s) \γ(- s) = \ dfrac {1} {s ^ 2} \ prod_ {k = 1} ^ \ infty \离开(1 - \ dfrac {s ^ 2} {k ^ 2} \右)^{1}。$

RHS上的产品是著名的Weierstrass产品，所以我们有

$\开始{对齐}\γ(s) \γ(- s) & = \ dfrac {1} {s ^ 2} \ dfrac{\πs}{\罪(\πs)} \ \ \ \ \γ(s) \大(- s \γ(- s) \大)& = \ dfrac{\π}{\罪(π\ s)} \ \ \ \ \γ(s) \γ(1)& = \ dfrac{\π}{\罪(π\ s)}。\ _\方形\端{对齐}$

找到 $左(\ \伽马\压裂{1}{2}\右)^ {4}$．

---

利用欧拉反射公式，

$左(\ \伽马\压裂{1}{2}\右)^{4}=左\[\伽马\离开(\压裂{1}{2}\)\伽马\离开(1 - \压裂{1}{2}\)\右]^{2}= \离开(\压裂{\π}{\罪\压裂{\π}{2}}\右)^{2}= \π^{2}。\ _ \广场$

也有欧拉反射公式双函数

主要文章:β函数

和函数满足恒等式

$B (x, y) = \ dfrac{\γ(x) \γ(y)}{\γ(x + y)} = \ int_0 ^ 1 t ^ {x - 1} (1 - t) ^ {y-1} \, dt = \ int_0 ^{\π/ 2}2 \罪^ {2 x - 1} (t) \因为^ {2 y-1} (t) \, dt。$

上面的积分实际上被称为第一类欧拉积分．

主要文章:双函数

二重函数定义为

$\ psi (s) = \ dfrac{\γ' (s)}{\γ(s)}。$

利用这对欧拉反射公式和勒让德复制公式，我们有

$\开始{对齐}\ψ(1)- \ψ(s) & = \π\床\大π(\ \大)2 \ \ \ψ(2 s) & = 2 \ ln(2) + \ψ(s) + \ \离开(s + \ dfrac{1}{2} \右)。结束\{对齐}$

主要文章:黎曼ζ函数

函数和函数是紧密相关的。

函数出现在zeta泛函方程中:

$\开始{对齐}\π^{- \压裂{年代}{2}}\伽马\离开(\压裂{年代}{2}\)\泽塔(s) & = \π^{- \压裂{1}{2}}\伽马\离开(\压裂{1}{2}\)\泽塔(1)\ \ \ \ \泽塔(s) & = 2 ^ (s \π^{1}\罪\离开(\压裂{\πs}{2} \) \γ(1)\泽塔(1)。结束\{对齐}$

它还有一个与之紧密相关的积分:

$\γ(s) \泽塔(s) = \ int_0 ^ \ infty \ dfrac {x ^ {1}} {e ^ x - 1} dx。$

主要文章:Polylogarithm

函数的积分表示是

$文本\γ(s) \{李}_ (z) = \ int_0 ^ \ infty \压裂{x ^{1}}{\压裂{e x ^} {z} 1} dx。$

Bohr-Mollerup定理指出函数 $\γ$这个函数在区间上是唯一的吗 $X > 0$这样 $\Gamma(1) = 1， \Gamma(s+1) = s\Gamma(s)，$而且 $\ ln \γ(s)$是一个凸函数。

• 拉马努金主定理
• 分部积分法
• Polylogarithm
• 黎曼ζ函数
• 双函数
• β函数