Polylogarithm
的polylogarithm函数是一个重要的函数,用于积分和求看似复杂的和。
内容
定义
的polylogarithm函数定义为\[\operatorname{Li}_s(x) = \sum_{n=1}^\infty \dfrac{x^n}{n^s}\],适用于所有复数\(s\)和\(|x|\leq 1\),对于\(|x|>1\)可以通过解析延拓。\ \(_ \广场)
两个多对数之间的联系
李\ [\ operatorname {} _ (x) = \ int_0 x ^ \ dfrac {\ operatorname{李}_ {1}(u)}{你}du。广场\ _ \ \]
考虑\[我= \ int_0 x ^ \ dfrac {\ operatorname{李}_ {1}(u)}{你}du = \ int_0 x ^ \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ dfrac {u ^ {n}} {n ^ {1}} du。\]交换求和符号和积分符号最终,我们\[我= \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ int_0 x ^ \ dfrac {u ^ {n}} {n ^ {1}} du = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ dfrac {x ^ n} {n ^ s} = \ operatorname{李}_ (x)。广场\ _ \ \]
多对数与几何级数
多元对数与无穷几何级数sum \[\operatorname{Li}_0(x)=\sum_{n=1}^\infty x^n=\dfrac{x}{1-x}有关。我们可以除以\(x\)并对\(x\)求导得到\[\operatorname{Li}_{-1}(x)=\sum_{n=1}^\infty nx^n=\dfrac{x}{(1-x)^2}。我们可以继续这样做来得到\(\operatorname{Li}_{-s} (x)\)的封闭形式,但是如果我们得到类似\(\operatorname{Li}_{-25}(0.5)\)的东西,那么除以\(x\)并对\(x\)微分25次就会变得非常繁琐。二项式定理是繁琐的帕斯卡三角形的捷径,类似于二项式定理,有一个简单的方法来计算这些:
\[开始\{数组}{l c c | | | |} \线s & \ operatorname{李}_ (z)和文本{代数表达式}\ \ \ \线1 & \ operatorname{李}_1 (z) & - \ ln (1 - z) \ \ \线0 & \ operatorname{李}_0 (z) & \ dfrac z {1 - z} \ \ \线1 & \ operatorname{李}_ {1}(z) & \ dfrac {z} {(1 - z) ^ 2} \ \ \线2 & \ operatorname{李}_ {2}(z) & \ dfrac {z (z + 1)} {(1 - z) ^ 3} \ \ \线3 & \ operatorname{李}_ {3}(z) & \ dfrac {z (z z ^ 2 + 4 + 1)} {(1 - z) ^ 4} \ \ \线4 & \ operatorname{李}_ {4}(z) & \ dfrac {z (1 + z) (z z ^ 2 + 10 + 1)} {(1 - z) ^ 5} \ \ \线5 &\operatorname{Li}_{-5}(z) & \dfrac {z(z^4+26z^3+ 66z^2+26z+1)}{(1-z)^6} \\ \hline \end{array} \]
一般来说,我们可以表达\(李\ def \{李\}\ Li_ {n} (z) \)作为李\ [\ def \{李\}\ Li_ {n} (z) = \离开(z \;\ dfrac{\部分}{部分z \} \右)^ n \ dfrac z {1 - z} = \ sum_ {k = 0} ^ n k !\;S(n+1,k+1) \left(\dfrac z{1-z} \right)^{k+1} \;,其中\(n\)为非负整数,\(S(n,k) \)表示第二类斯特林数。\ \(_ \广场)
尝试使用多对数解决以下问题!