β函数

Kishlaya Jaiswal，<一个href="//www.parkandroid.com/profile/aareyan-3swgey/" class="btn-profile mini-profile" data-id="KRuIrbW7q4hqSlqLJPdtoITE2VY4DWq8" rel="nofollow">Aareyan曼苏尔，<一个href="//www.parkandroid.com/profile/travis-cropbk/about/" class="btn-profile mini-profile" data-id="XM3fLQBb8H8QF3H7zqmBERL90zPWWH1E" rel="nofollow">特拉维斯麦克奈特，和做出了贡献

的<年代trong>测试功能（也称为<年代trong>第一类欧拉积分)在微积分和分析中非常重要，因为它与<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/gamma-function/" class="wiki_link" title="γ函数" target="_blank">γ函数，它本身就是阶乘函数的推广。许多复杂的积分可以减少涉及beta函数表达式。

内容

定义

的<年代trong>测试功能，表示通过<年代pan class="katex"> $B (x, y)$ $B （ x ， y ），被定义为$

$B（X，Y）= \ INT_0 ^ 1吨^ {X-1}（1-T）^ {Y-1} \，DT。$

这也是第一类欧拉积分。

对称

beta函数的对称性

$B（X，Y）= B（Y，X）$

由于定积分的收敛性的

$int ^a (t) dt = int ^a (t) dt，$

我们可以把上面的积分写成

$B（X，Y）= \ INT_0 ^ 1吨^ {Y-1}（1-T）^ {X-1} \，DT。$

因此，我们得到函数是对称的，<年代pan class="katex"> $B (x, y) = B (y、x)。$ $_ \广场$

与函数的关系

我们有

$B（X，Y）= \ dfrac {\伽玛（X）\伽马（γ）} {\伽玛（X + Y）}。$

为正整数<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 和<年代pan class="katex"> $y$ $y$ ，我们可以定义测试功能

$B (x, y) = \ dfrac {(x - 1) (y-1) !} {(x + y-1) !}。$

回想伽马函数的定义

$\ displaystyle \γ(s) = \ int _0 ^ \ infty x ^ {1} e ^ {- x} \, dx。$

现在可以写字了

$\的DisplayStyle \伽玛（米）\伽玛（N）= \ INT _0 ^ \ infty的x ^ {M-1} E 1 { - X} \，DX \ INT _0 ^ {\ infty} Y 1 {N-1}E 1 { - Y} \，DY。$

然后我们可以把它写成二重积分:

$\ displaystyle \γ(m) \γ(n) = \ int _0 ^ \ infty \ int _0 ^ \ infty x ^ {m - 1} y ^ {n} e ^ {- (x + y)} \, dy, dx \。$

应用替换<年代pan class="katex"> $x = vt$ $Y = V（1-T），$

$\ displaystyle \γ(m) \γ(n) = \ int _0 ^ 1 t ^ {m - 1} (1 - t) ^ {n} \, dt \ int _0 ^ \ infty v ^ ^ {m + n - 1} e {- v} \, dv。$

利用函数和函数的定义，我们有

$(m) (n) = B(m,n) (m+n)$

因此证明。<年代pan class="katex"> $_ \广场$ $_{□}$

计算<年代pan class="katex"> $B（5,7）。$ $B （ 5 ， 7 ）．$

如果我们通过测试函数来计算的定义<年代pan class="katex"> $B(5、7)$ $B （ 5 ， 7 ），我们要解下面的积分$

$B（5,7）= \ INT_0 ^ 1吨^ 4（1-T）^ {6} \，DT，$

这是一个非常繁琐的工作。下面是当伽玛功能测试功能的关系就派上用场了：

$B(5、7)= \压裂{4 6 !}{11 !} = \压裂{4 !}{11\乘以10\乘以cdots \乘以7}= frac{1}{2310}。\ _ \广场$

函数的三角表示

$B (x, y) = \ int_0 ^{\π/ 2}2 \罪^ {2 x - 1} (t) \因为^ {2 y-1} (t) \, dt$

考虑

$B(x,y) = u^{y-1}(1-u)^{x-1}， du。$

使用替换<年代pan class="katex"> $u = \罪^ 2 (t) \ du = 2 \罪(t) \ cos (t)$ $\大| _0 ^ 1 \到\大| _0 ^ {\ PI / 2}$

$B (x, y) = \ int_0 ^{\π/ 2}2 \罪^ {2 x - 1} (t) \因为^ {2 y-1} (t) \, dt。\ _ \广场$

找

$\ int_0 ^{\π/ 2}\罪^ {9}(x) \ cos (x) \, dx。$

给定的积分很简单

$B \ dfrac{1}{2}(5、1)= \ dfrac {1} {2} \ cdot \ dfrac{\伽马伽马(1)(5)\}{\γ(6)}= \ dfrac {1} {2} \ cdot \ dfrac {4 !} {5 !} = \ dfrac{1}{10}。\ _ \广场$

评估<年代pan class="katex-display"> $\ int_{0} ^{\压裂{\π}{2}}\压裂{\ sqrt {\ tanx}} {\ cos (x + \ sin (x)) ^ {2}} \ \ mathrm {d} x$

使用替换<年代pan class="katex"> $T = \黄褐色X \ longrightarrow \，\ mathrm {d} X = \ COS ^ 2（x）的\，\ mathrm {d}吨$ $t ＝晒黑 x ⟶ d x ＝ COS.^{2} （ x ） d t 因此,$

$\ int_{0} ^{\压裂{\π}{2}}\压裂{\ sqrt {\ tanx}} {\ cos (x + \ sin (x)) ^ {2}} \ \ mathrm x = \ d {} int_{0} ^{\压裂{\π}{2}}\压裂{\ sqrt {\ tanx}}{\因为^ {2}x (1 + \ tanx) ^ {2}} \ \ mathrm x = \ d {} int_ {0} ^ {\ infty} \压裂{t ^{\压裂{1}{2}}}{(1 + t) ^ {2}} \ \ mathrm {d} t$

通过使用函数的另一种定义我们可以改写上面的积分来符合定义

$\ int_ {0} ^ {\ infty} \压裂{吨^ {\压裂{3} {2} -1}} {（1 + T）^ {\压裂{3} {2} + T}} \，\ mathrm {d} T = \ mathrm {B} \左（\压裂{3} {2}，\压裂{1} {2} \右）$

然后切换到函数

$\压裂{\伽马\离开(\压裂{3}{2}\)\伽马\离开(\压裂{1}{2}\右)}{\γ(2)}= \压裂{\压裂{1}{2}\伽马\离开(\压裂{1}{2}\)\伽马\离开(\压裂{1}{2}\右)}{1 !}= \压裂{\压裂{1}{2}\ sqrt{\π}\ sqrt{\π}}{1}= \压裂{\π}{2}$

递归关系

beta函数的递推关系由下式给出

$B（X + 1，Y）= B（X，Y）\ dfrac {X} {X + Y}。$

我们有

$B（X + 1，Y）= \ dfrac {X！（Y-1）！} {（X + Y）！} = \ dfrac {（X-1）！（Y-1）！} {（X +Y-1）！} \倍\ dfrac {X} {X + Y} = B（X，Y）\ dfrac {X} {X + Y}。$

根据上述关系，由于贝塔函数的对称性，可以立即得到以下两个结果:

$\{对齐}开始B (x, y + 1) & = B (x, y) \ dfrac {y} {x + y} \ \ B (x + 1, y) + B (x, y + 1) & = B (x, y)。\ \ _ \广场结束{对齐}$

与中央二项式系数的关系

我们观察中心二项式系数的倒数:

${对齐}\ \开始dfrac {1} {{2 n \选择n}} & = \ dfrac {n, n !} {(2 n) !} \\ & = \ dfrac{\γ(n + 1) \γ(n + 1)}{\γ(2 n + 1 )} \\ & = \ dfrac {n \γ(n) \γ(n + 1)}{\γ(2 n + 1 )} \\ & = nB (n, n + 1)。结束\{对齐}$

然后

$B(n,n+1) = \dfrac{1}{n{2n \choose n}}。$

这是一个非常有用的关系，尤其是在解求和的时候。

找

$S=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n{2n \choose n}}。$

利用函数的关系，这是

$S = \ sum_ {N = 1} ^ \ infty B（N + 1，N）= \ sum_ {N = 1} ^ \ infty \ INT_0 ^ 1×^ N（1-X）^ {N - 1} DX．$

由于被积函数的绝对收敛，我们可以交换求和符号和积分符号:

$S = \ int_0 ^ 1 \ sum_ {n = 1} ^ \ infty x ^ n (1 - x) ^ {n} dx = \ int_0 ^ 1 \ dfrac {x} {x ^ 2 x + 1} dx。$

的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/geometric-progression-sum/" class="wiki_link" title="几何级数求和" target="_blank">几何级数求和被使用了。现在，我们可以很容易地解决不定积分，然后放在限制。所以我们有

$S = \ dfrac {\ sqrt{3} \π}{9}。\ _ \广场$

$\总和_ {n = 1} ^ {\ infty}{\压裂{1}{{n} ^{2} \离开(\开始{矩阵}2 n \ \ n \{矩阵}结束\右)}}= \压裂{一}{B} \ζ\离开(C \右)$

在上式中，<年代pan class="katex"> $A, B, C$ $一个$

找<年代pan class="katex"> $A + B + C。$ $一个 + B + C ．$

函数的导数

beta函数的导数解决一些积分的好方法：

$\开始{对齐}\ dfrac{\部分}{x} \部分B (x, y) & = B (x, y) \大(\ psi (x) - \ psi (x + y) \大)\ \ \ dfrac{\部分^ 2}{\部分x \偏y} B (x, y) & = B (x, y) \大(\ (\ psi (x) - \ psi (x + y) \大)、大(\ psi (y) - \ psi (x + y) \大)——\ psi (x + y) \大)。结束\{对齐}$

让我们来看看如何使用这个，而是先读<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/digamma-function/" class="wiki_link" title="双函数" target="_blank">双函数wiki。

找

$1 \ \ int_0 ^ ln (t) \ ln (1 - t) \, dt。$

考虑

$B（X，Y）= \ INT_0 ^ 1吨^ {X-1}（1-T）^ {Y-1} dt的。$

对…微分<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 首先<年代pan class="katex"> $y$ $y$ 得到

$\ dfrac {\局部^ 2} {\部分X \部分Y} B（X，Y）= \ INT_0 ^ 1 \ LN（吨）\ LN（1-T）T 1 {X-1}（1-叔）^ {Y-1} dt的。$

把<年代pan class="katex"> $x = 1$ $Y = 1$

$B（1,1）\大（\大（\ PSI（1） - \ PSI（2）\大）^ 2 - \ PSI ^ {（1）}（2）\大）= B（1,1）\大（（ - 1）^ 2 - \ζ电（2）1 \大）= 2- \ dfrac {\ PI ^ 2} {6}。\ _ \广场$

近似

使用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/stirlings-formula/" class="wiki_link" title="斯特林公式" target="_blank">斯特林公式，我们可以很容易地定义beta函数的渐近近似为

$B（X，Y）= \ dfrac {（X-1）！（Y-1）！} {（X + Y-1）！} \ SIM \ SQRT {2 \ PI} \ dfrac {X ^ {x轴1/2} Y 1 {Y-1/2}} {（X + Y）^ {X + Y-1/2}}$

对于大型<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 和大<年代pan class="katex"> $y。$ $y ．$

贝塔分布

在概率论中，<年代trong>贝塔分布，写成<年代pan class="katex"> $β(r, s)$ $R，S> 0$

$\压裂{1}{B (r, s)} x ^ {r 1} (1 - x) ^ {1},$

在哪里<年代pan class="katex"> $0 < x < 1$ $B (r, s)$

$B (r, s)$

的<年代pan class="katex"> $k ^ \文本{th}$ $n$

实现数学

测试版功能可以在Mathematica中实现如下：

1

β[a, b]

另请参阅

γ函数

引用如下：测试版功能。bright.org.．检索<年代pan class="retrieval-time">从<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/beta-function/">//www.parkandroid.com/wiki/beta-function/

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