函数方程gydF4y2Ba

泛函方程是未知量是函数而不是传统变量的方程。然而，用于求解泛函方程的方法与分离传统变量的方法有很大的不同。gydF4y2Ba

每个功能方程提供有关功能或多个功能的一些信息。例如，gydF4y2Ba $f (x) - f (y) = x - ygydF4y2Ba$是一个函数方程。在这里,gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$是一个函数，已知任意两个输出值之间的差等于输入值之间的差。gydF4y2Ba $f (x) = xgydF4y2Ba$满足上述函数方程，更一般地，也是如此gydF4y2Ba $f (x) = x + cgydF4y2Ba$，对于所有常数gydF4y2Ba $cgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

尝试猜测以下功能方程的解决方案（不一定是所有解决方案）：gydF4y2Ba

$\四1)~ (xy) = f (x) f (y)gydF4y2Ba$

$\ Quad 2）〜F（x）f（y）= f（x + y）gydF4y2Ba$

$\四3)~ f (x) + f (y) = f (xy)gydF4y2Ba$

$\四4)~ (x + y = f (x) + f (y)gydF4y2Ba$

$\四5)~ f (x + y) = \压裂{f (x) + f (y)}{行进f (x) (y)}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

第一个可以提醒你gydF4y2Ba $f (x) = x ^gydF4y2Ba$．第二个函数方程让我们想起指数函数，即。gydF4y2Ba $f (x) = e x ^,gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $egydF4y2Ba$是一个已知的价值。第三个应该提醒您对数函数。第四个是名为Cauchy功能方程的着名功能方程。它提醒我们gydF4y2Ba $f（x）= cxgydF4y2Ba$．最后，最后一个提醒我们TAN功能。gydF4y2Ba

注意，上面的任何函数都没有必要是我们指定的函数。值得注意的是，如果我们想让上述函数成为我们在前面一段中提到的那些函数，就必须假设它们是连续性的。关于这一点的更多内容将在后面学习。举个简单的反例，gydF4y2Ba $f (xy) = f (x) f (y)gydF4y2Ba$有解决方案gydF4y2Ba $F（0）= 0gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $f (x) = 1gydF4y2Ba$什么时候gydF4y2Ba $x \ neq 0gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

然而，一旦看到常见/直接的函数，识别它们是非常重要的。但有必要理解，最常见和最直接的解决方案不一定是唯一的解决方案。gydF4y2Ba

我们在上述示例中掩盖的两个重要事项是域和功能的Codomain。我们假设它们定义在真实上，并提供实际输出，但这不是必需的。域和Codomain可以基本上是您想要的任何内容，并且由于域和Codomain的变化，该功能可能会发生变化。gydF4y2Ba

找到所有功能gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $F：\ MathBB {Q} \ LongrightArrow \ \ MathBB {Q}，F（1）= 2，f（xy）= f（x）f（y）-f（x + y）+1。gydF4y2Ba$

在上面的问题中，我们看到了函数方程问题中最常见的三种情况:gydF4y2Ba

1. 域和CodomaingydF4y2Ba
2. 的价值gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$在一些(年代)gydF4y2Ba
3. 主要功能方程。gydF4y2Ba

如果gydF4y2Ba $f (x + 3) = x ^ 2 + 8 x + 16gydF4y2Ba$，那么什么是gydF4y2Ba $f（x）？gydF4y2Ba$

---

集gydF4y2Ba $y = x + 3，gydF4y2Ba$然后gydF4y2Ba $x = y-3gydF4y2Ba$．把这个代入gydF4y2Ba $f (x + 3) = x ^ 2 + 8 x + 16gydF4y2Ba$得到gydF4y2Ba $f (y) = y y ^ 2 + 2 + 1。gydF4y2Ba$因此gydF4y2Ba $f (x) = x ^ 2 + 2 + 1 = (x + 1) ^ 2。\ _ \广场gydF4y2Ba$

$fgydF4y2Ba$函数是否满足下列条件gydF4y2Ba $3.gydF4y2Ba$条件:gydF4y2Ba

• $f: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}gydF4y2Ba$
• $\ sqrt {f（x）} \ ge \ frac {f（1）+ f（x）} {2}gydF4y2Ba$对于一些gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$在给定域中gydF4y2Ba
• $\压裂{f (n)} {f (1)} = 2 n - \大(f(1) \大)^ 2,通用电气\ n \ 2。gydF4y2Ba$

找到所有这样的函数。gydF4y2Ba

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让我们逐一看看条件。第一个基本告诉我们函数只接受正整数并且总是输出正整数。第二个应该提醒你关于AM-GM的不平等。让gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$为等式成立的正整数。应用AM-GM，我们得到gydF4y2Ba

$\ Sqrt {f（x）} \ ge \ dfrac {f（1）+ f（x）} {2} \ ge \ sqrt {f（x）f（1）}。gydF4y2Ba$

但自gydF4y2Ba $f(1)、通用电气(ge) 1,gydF4y2Ba$我们有gydF4y2Ba $\√6 f (x) {} \ le \√6 {f (x) f(1)}。gydF4y2Ba$因此，上述不等式实际上是平等。因此，为了保持平等，我们必须有gydF4y2Ba $F（1）= 1gydF4y2Ba$．代入第三个条件gydF4y2Ba $f (n) = 2 n - 1gydF4y2Ba$对所有人gydF4y2Ba $n \ ge2gydF4y2Ba$．最后,请注意,gydF4y2Ba $F（1）= 2 \ CDOT 1-1gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

因此这个功能是gydF4y2Ba $f (n) = 2 n - 1gydF4y2Ba$对所有人gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$．gydF4y2Ba $_\正方形gydF4y2Ba$

给予gydF4y2Ba $f (x) = 10 ^ {2 x} + 10 ^ x + 1gydF4y2Ba$，计算的值gydF4y2Ba $\ displaystyle \ sum_ {x = 1} ^ {n} f (x - 1) (\ log_ {10} x)。gydF4y2Ba$

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这里最重要的是找出原因gydF4y2Ba $f（\ log_ {10} x）gydF4y2Ba$是多少。这很简单:gydF4y2Ba

$\{对齐}开始f (x) & = 10 ^ {2 x} + 10 ^ x + 1 \ \ f (\ log_ {10} x) & = 10 ^ {2 \ log_ x {10}} + 10 ^ {\ log_ x{10}} + 1。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

通过定义gydF4y2Ba $一个^ {\ log_ax} = xgydF4y2Ba$因此gydF4y2Ba

$f(\ \{对齐}开始log_ {10} x) & = x ^ 2 + x + 1 \ \ f (x - 1) (\ log_ {10} x) & = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) \ \ & = x ^ 3 - 1。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

这个问题现在被简化为计算问题gydF4y2Ba

$\ sum_ {x = 1} ^ {n} (x ^ 3 - 1) = \离开(\ dfrac {n (n + 1)}{2} \右)^ 2 ngydF4y2Ba$

通过公式作为第一个总和gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$连续数据集。gydF4y2Ba $_\正方形gydF4y2Ba$

当遇到函数方程时，首先要做的就是代入值。这通常有两个目的。一个是了解函数的性质，另一个是得到一个合适的方程。通常情况下，代入一些平凡的值，比如gydF4y2Ba $1,0，-1，-YgydF4y2Ba$可以帮助您提前解决问题。gydF4y2Ba

如果gydF4y2Ba $f (x + 3) = x ^ 2 + 8 x + 16gydF4y2Ba$，那么什么是gydF4y2Ba $f（x）？gydF4y2Ba$

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在这里，我们制定了合适的替代gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$得到gydF4y2Ba $f（x）gydF4y2Ba$．注意，我们已经知道了gydF4y2Ba $f (x + 3)gydF4y2Ba$是多少。现在问问你自己，“我们可以用什么来代替gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$得到gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$从gydF4y2Ba $x + 3 ?gydF4y2Ba$＂gydF4y2Ba

当然，只需替换即可gydF4y2Ba $- 3gydF4y2Ba$在的地方gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$．然后gydF4y2Ba $x + 3gydF4y2Ba$将变成gydF4y2Ba $(3) + 3 = xgydF4y2Ba$这很有帮助，因为现在gydF4y2Ba

$f \大((3)+ 3 \大)= f (x) = (- 3) ^ 2 + 8 (3) + 16 = x ^ 2 + 2 + 1,gydF4y2Ba$

这是我们正在寻找的。gydF4y2Ba $_\正方形gydF4y2Ba$

上面说的有点模糊。对于初学者来说，这种替代可能不是自然而然的。所以更好的方法是:gydF4y2Ba

如果gydF4y2Ba $f (x + 3) = x ^ 2 + 8 x + 16gydF4y2Ba$，那么什么是gydF4y2Ba $f（x）？gydF4y2Ba$

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集gydF4y2Ba $y = x + 3gydF4y2Ba$．然后gydF4y2Ba $x = y-3gydF4y2Ba$．现在的替代品gydF4y2Ba $x = y-3gydF4y2Ba$在gydF4y2Ba $f (x + 3) = x ^ 2 + 8 x + 16gydF4y2Ba$得到gydF4y2Ba $f (y) = y y ^ 2 + 2 + 1,gydF4y2Ba$因此gydF4y2Ba $f (x) = x ^ 2 + 2 + 1 = (x + 1) ^ 2。\ _ \广场gydF4y2Ba$

上面是替换的一个简单用法。这是使用代换的最简单的例子。现在让我们把注意力转到一个稍微复杂一点的问题上。这个问题将向我们介绍循环函数在解函数方程中的应用(如果你现在不知道什么是循环函数，也不用担心)。gydF4y2Ba

找到所有功能gydF4y2Ba $f：\ mathbb {r} - \ {0 \} \ longrightarrow \ mathbb {r}gydF4y2Ba$令人满意的gydF4y2Ba

$f（x）+ 3f \ left（\ frac {1} {x}右）= x ^ 2。gydF4y2Ba$

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看一眼gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $\压裂{1}{x}gydF4y2Ba$在上述问题中。如果我们用gydF4y2Ba $\压裂{1}{x}gydF4y2Ba$在的地方gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$？我们会得到什么?我们得到了gydF4y2Ba

$f \ \开始{对齐}左(\压裂{1}{x} \右)+ 3 f \离开(\压裂{1}{\ frac1x} \右)& = \压裂{1}{x ^ 2} \ \ f \离开(\压裂{1}{x} \右)+ 3 f (x) & = \压裂{1}{x ^ 2}。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

现在我们有了一个新的方程式!将这个新方程与前一个方程进行了比较gydF4y2Ba

$\ begin {对齐} f（x）+ 3f \ left（\ frac {1} {x}右）＆= x ^ 2 \\ f \ left（\ frac {1} {x}右）+ 3f（x）＆= \ frac {1} {x ^ 2}，\结束{对齐}gydF4y2Ba$

我们看到我们有一个线性方程组我们要做的就是解出来gydF4y2Ba $f（x）gydF4y2Ba$．所以简单地对待gydF4y2Ba $f（x）gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $f \ left（\ frac {1} {x}右）gydF4y2Ba$作为变量，求解gydF4y2Ba $f（x）gydF4y2Ba$．然后是最终答案gydF4y2Ba

$- \压裂{x ^ 2}{8} + \压裂{3}{8 x ^ 2}。\ _ \广场gydF4y2Ba$

现在，是什么促使我们尝试这个替换呢?首先，你得记住这一点gydF4y2Ba $\压裂{1}{\水平间距{1.5毫米}\ frac1x \水平间距{1.5毫米}}= xgydF4y2Ba$．所以当我们做这个替换时，我们得到了另一个变量相同的方程。所以我们可以很容易地解线性方程组。这个问题教会了我们两件事:gydF4y2Ba

1. 循环函数的使用(我们稍后将对此展开)。gydF4y2Ba
2. 代换可以得到一个线性(或更高阶)方程组，然后我们可以用它来找出函数是什么。gydF4y2Ba

第二点是解决功能方程的一个非常有用的工具。gydF4y2Ba

在我们解决更多示例之前，让我们谈谈循环功能以及他们的所作所为。gydF4y2Ba

函数是按顺序循环的gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$如果对所有gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $大(f f \ \大(f (x)…\大)\大)= xgydF4y2Ba$．在这里,gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$发生gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$次了。注意，在上面的例子中，gydF4y2Ba $g（x）= \ frac1xgydF4y2Ba$循环函数是有序的吗gydF4y2Ba $2gydF4y2Ba$自gydF4y2Ba $g \大(g (x) \大)= xgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

$f（x）= 1-xgydF4y2Ba$也是循环的订单gydF4y2Ba $2gydF4y2Ba$自gydF4y2Ba $f \大(f (x) \大)= f (1 - x) = 1 - (1 - x) = x。gydF4y2Ba$

同样，考虑一下桌上的论文。我们定义一个函数gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$．这个函数每次会做的是，它会旋转桌子上的纸gydF4y2Ba $60 ^ \ circgydF4y2Ba$．因此，在六次应用此功能后，纸张将旋转gydF4y2Ba $360 ^ \保监会gydF4y2Ba$，并将回到它原来的位置。因此gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$是循环订单gydF4y2Ba $6gydF4y2Ba$，因为将这个函数应用6次，得到的是最初的结果。gydF4y2Ba

现在让我们进入功能方程并在其中使用循环功能。请注意，在上述问题中，我们有gydF4y2Ba $\ frac1x.gydF4y2Ba$内部函数。我们知道它是一个有序的循环函数gydF4y2Ba $2gydF4y2Ba$，如上所述。所以当我们代入gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$为gydF4y2Ba $\ frac1x.gydF4y2Ba$条款,gydF4y2Ba $f（x）gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $f \左\ frac1x \(右)gydF4y2Ba$转换位置，给出一个简单的线性方程组。我们将用循环函数来解决其他一些问题。gydF4y2Ba

求所有实数上的函数gydF4y2Ba $f (x) + 2 f (1 - x) = x ^ 3gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

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如前面提到的，gydF4y2Ba $1 - xgydF4y2Ba$是循环订单gydF4y2Ba $2gydF4y2Ba$．如果我们代入gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$为gydF4y2Ba $1 - x,gydF4y2Ba$条款gydF4y2Ba $f（x）gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $f (1 - x)gydF4y2Ba$交换，再一次留下一个线性方程组。实际的功能留给读者。gydF4y2Ba $_\正方形gydF4y2Ba$

但与任何其他主题一样，在点循环函数有时可能是困难的。当您无法立即看到事物时，请插入实际值并尝试计算值gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$在某些投入中。这可能会让你更近的洞察力。在以下问题中给出了这样的示例：gydF4y2Ba

找到所有这样的函数gydF4y2Ba

$\{数组}}{c f: \ mathbb {R} - \ {0,1 \} \ longrightarrow \ mathbb {R}, f (x) + f \离开(\ dfrac {1} {1 - x} \右)= 1 + \ dfrac {1} {x (1 - x)}。结束\{数组}gydF4y2Ba$

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这是基本思想。因为我们可能看不到gydF4y2Ba $\ frac {1} {1-x}gydF4y2Ba$是顺序循环gydF4y2Ba $3.gydF4y2Ba$直截了当地(有些人会这么做，如果直觉告诉你这是循环的，你应该检查一下)，我们采用了一种稍微不同的方法。代入值。gydF4y2Ba

$x = -1gydF4y2Ba$和这里的其他选择一样好。它会给我们gydF4y2Ba

$(1) + f \离开(\ frac12 \右)={一}\文本。gydF4y2Ba$

现在我们有gydF4y2Ba $\ frac12gydF4y2Ba$里面gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$，我们可以插入gydF4y2Ba $x = \ frac12gydF4y2Ba$得到gydF4y2Ba

$f \左(\ frac12 \右)+ f(2) ={一}\文本gydF4y2Ba$

最后因为gydF4y2Ba $2gydF4y2Ba$是内在的gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$，我们把它插入gydF4y2Ba

$(2) + f(1) ={一}\文本。gydF4y2Ba$

现在，我们只需要处理一个线性方程组。有三个方程和三个变量。所以我们可以很容易地求出它们的值。gydF4y2Ba

这应该促使我们向循环函数的方向发展。你应该验证一下gydF4y2Ba $\ frac {1} {1-x}gydF4y2Ba$真的是循环或不是（你应该直接做到，但我要做一个点）。这将很容易引导我们解决方案。gydF4y2Ba $_\正方形gydF4y2Ba$

在多变量函数方程中使用代换时，有一件重要的事情需要注意。这个问题在数学的每个分支中都会出现gydF4y2Ba对称gydF4y2Ba．有时你可以使用以下关于对称的标准概念:gydF4y2Ba

在由两个变量组成的函数方程中，如果方程一边的表达式与变量对称，而另一边的表达式与变量不对称，则进行代换gydF4y2Ba $(m, n) \ rightarrow (n,米)gydF4y2Ba$这是个好主意。gydF4y2Ba

上面的内容基本上是告诉我们要交换变量的位置。我们用一个例子来解释。gydF4y2Ba

查找所有注射功能gydF4y2Ba $f: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}gydF4y2Ba$满足gydF4y2Ba

$\{数组}{c}开始f \大(f (m) + f (n) \大)= f \大(f (m) \大)+ f (n), f (1) = 2, f(2) = 4, \{数组}gydF4y2Ba$

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我们有gydF4y2Ba

$f \大(f (m) + f (n) \大)= f \大(f (m) \大)+ f (n)。\ qquad (1)gydF4y2Ba$

解决方案沿着我们刚知的想法的线路进行。只要注意到左侧相对于变量对称，而右侧不是。gydF4y2Ba

我们做了替换gydF4y2Ba $(m, n) \ rightarrow (1, n)gydF4y2Ba$得到gydF4y2Ba

$f \ big（f（1）+ f（n）\ big）= f \ big（f（1）\ big）+ f（n）。gydF4y2Ba$

现在，如前所述，做替换gydF4y2Ba $（m，n）\ lightarrow（n，1）gydF4y2Ba$．我们只切换了那些地方gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $护士:gydF4y2Ba$

$f \大(f (n) + f(1) \大)= f \大(f (n) \大)+ f(1)。gydF4y2Ba$

您可能会问我们如何了解插入gydF4y2Ba $1gydF4y2Ba$代替其中一个变量。我们不知道，但在现实生活中，你会做替换gydF4y2Ba $(m, n) = (n,米)gydF4y2Ba$首先，然后你会注意到代入gydF4y2Ba $1gydF4y2Ba$可能会有帮助。不管怎样，用这两个方程，我们得到gydF4y2Ba

$\{对齐}开始f \大(f(1) \大)+ f (n) & = f \大(f (n) \大)+ f(1) \ \ \大(f (n) \大)& = f (n) + 2 \{对齐}结束gydF4y2Ba$

因为gydF4y2Ba $f (1)gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $f (2)gydF4y2Ba$在问题上给出了。现在，我们看到了gydF4y2Ba $f（n）= mgydF4y2Ba$意味着gydF4y2Ba $f（m）= m + 2gydF4y2Ba$．使用归纳，我们可以证明这一点gydF4y2Ba $f（m + 2k）= m + 2k + 2，gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $k \ ge 0。gydF4y2Ba$ $\[大gydF4y2Ba$提示:使用gydF4y2Ba $f \大(f (n) \大)= f (n) + 2gydF4y2Ba$的证据。gydF4y2Ba $\]大gydF4y2Ba$现在的替代品gydF4y2Ba $m = 2 ngydF4y2Ba$得到那个gydF4y2Ba $f（2n）= 2n + 2gydF4y2Ba$对于所有正整数gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

现在，注射性gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$让我们得出这样的结论gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$在奇数输入值处取奇数值gydF4y2Ba $（gydF4y2Ba$除了gydF4y2Ba $1gydF4y2Ba$，这是注定的gydF4y2Ba $2)．gydF4y2Ba$如果gydF4y2Ba $f (t) = 1gydF4y2Ba$对于一些gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba$然后做出替代gydF4y2Ba $m = tgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $n = tgydF4y2Ba$在gydF4y2Ba $（1）.gydF4y2Ba$你会变得轻松矛盾。gydF4y2Ba

再次假设一些人gydF4y2Ba $T，gydF4y2Ba$ $f (t) = 3gydF4y2Ba$,然后gydF4y2Ba $(3 + 2 k) = f \大(f (t) + 2 k \大)= f (t) + 2 k + 2 = 5 + 2 kgydF4y2Ba$，这是一个矛盾以来gydF4y2Ba $k \通用电气0gydF4y2Ba$没有输入可以输出输出gydF4y2Ba $3.gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $pgydF4y2Ba$是最小的积极整数，从而为某些人gydF4y2Ba $k，f（k）= 2p + 1gydF4y2Ba$．然后gydF4y2Ba $f（2p + 2s + 1）= 2p + 2s + 3gydF4y2Ba$为gydF4y2Ba $通用电气\ 0。gydF4y2Ba$由此可见,gydF4y2Ba $3、5、7,…,2 p - 1gydF4y2Ba$被映射到gydF4y2Ba $5、7、…,2 p + 1gydF4y2Ba$．因此gydF4y2Ba $f (3 + 2 k) = 5 + 2 kgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

最后，我们可以得出所需的函数为gydF4y2Ba

$\begin{array}{c}&f(1)=2， &f(n)=n+2， &n\ge 2。\ \ _ \广场结束数组{}gydF4y2Ba$

找到所有功能gydF4y2Ba $f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}gydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba

$f (x + y) - f (x - y) = f (x) f (y)。gydF4y2Ba$

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注意，函数方程的右边是关于变量对称的，而左边不是。因此进行代换gydF4y2Ba $x = Y.gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $y = xgydF4y2Ba$是一个好主意:gydF4y2Ba

$f (y + x) - f (x) = f (y) f (x)。gydF4y2Ba$

这告诉我们gydF4y2Ba $f (x - y) = f (x),gydF4y2Ba$哪个等价于这样说gydF4y2Ba $(一)= f(一)gydF4y2Ba$．现在替代替代gydF4y2Ba $y \ lightarrow -ygydF4y2Ba$得到gydF4y2Ba

$f（x-y）-f（x + y）= f（x）f（d）。gydF4y2Ba$

现在看看上述等式的左侧。这只是gydF4y2Ba $－1gydF4y2Ba$次数原始方程的左侧。所以LHS等于gydF4y2Ba $f - f (x) (y)gydF4y2Ba$．上述等式的右侧是gydF4y2Ba $f（x）f（ - -y）= f（x）f（y）gydF4y2Ba$自gydF4y2Ba $f（y）= f（是）gydF4y2Ba$．现在以来gydF4y2Ba $\文本{LHS = RHS}gydF4y2Ba$， 我们有gydF4y2Ba

$-f（x）f（y）= f（x）f（y）gydF4y2Ba$

对于所有实数对。因此，我们得出结论gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$必须gydF4y2Ba $0gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba $_\正方形gydF4y2Ba$

好了，现在我们来处理另一个有两个变量的问题，但这次函数有点不同。每当你看到函数gydF4y2Ba $f: \ mathbb} {R ^ 2 \ rightarrow \ mathbb {R}gydF4y2Ba$，上面示例中演示的相同类型的替换可能会有所帮助。只要把……的位置调换一下gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

一个函数gydF4y2Ba $f: \ mathbb} {R ^ 2 - \ {(1,1) \} \ longrightarrow \ mathbb {R}gydF4y2Ba$定义如下:gydF4y2Ba

$f（x，y）= x + yf（y，x）。gydF4y2Ba$

找到gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

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我们有gydF4y2Ba

$f（x，y）= x + yf（y，x）。gydF4y2Ba$

首先，必须承认，许多人采取的第一步将是替代更简单的价值观。但最终，一个好的替代是gydF4y2Ba $(x, y) \ rightarrow (y, x)gydF4y2Ba$．这给了我们gydF4y2Ba

$f (y, x) = y + xf (x, y)。gydF4y2Ba$

现在考虑gydF4y2Ba $f (x, y)gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $f (y, x)gydF4y2Ba$作为变量，我们可以解出它们。剩下的就是计算了。gydF4y2Ba $_\正方形gydF4y2Ba$

找到所有功能gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $f: \ mathbb {Q} \ longrightarrow \ mathbb {Q} \ f (1) = 2 \ (xy) = f (x) f (y) - f (x + y) + 1。gydF4y2Ba$

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放gydF4y2Ba $y = 1gydF4y2Ba$在给定的方程中得到gydF4y2Ba $f (x) = 2 f (x) - f (x + 1) + 1gydF4y2Ba$或gydF4y2Ba $f（x + 1）-f（x）= 1gydF4y2Ba$所有理性的gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$．自gydF4y2Ba $f（1）= 2gydF4y2Ba$，这当然意味着gydF4y2Ba $f (n) = n + 1gydF4y2Ba$对于所有整数gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$．putgydF4y2Ba $y = ngydF4y2Ba$在给定的方程中，在哪里gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$是正整数吗gydF4y2Ba

$f (nx) \;= \;F (x) - F (x+n) + 1 \;= \;(n+1)f(x) - \大(f(x) + n\大)+1 \;= \;Nf (x) - n + 1gydF4y2Ba$

所有理性的gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$， 因此gydF4y2Ba

$m + 1 \;= \;f (m) \;= \;f \大(n \ tfrac {m} {n} \大)\;= \;Nf \big(\tfrac{m}{n}\big) - n + 1gydF4y2Ba$

对于所有整数gydF4y2Ba $m，ngydF4y2Ba$,gydF4y2Ba $n > 0gydF4y2Ba$，从中我们可以推断出gydF4y2Ba $f \ big（\ tfrac {m} {n} \ big）= \ tfrac {m} {n} + 1gydF4y2Ba$因此,gydF4y2Ba $f (x) = x + 1gydF4y2Ba$所有理性的gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$．这个功能方程只有一个解决方案。gydF4y2Ba $_\正方形gydF4y2Ba$