多项式因式分解

分解是将一个表达式分解为其因子的乘积。

以下是常见的因式分解。

1. 对于任何正整数 $n$， $一个^ nb ^ n = (a - b) (^ {n} + ^ {2} b + \ ldots + ab ^ {2} + b ^ {n})。$特别是,对 $n = 2$,我们有 $一个^ 2 b ^ 2 = (a - b) (a + b)$．

2. 对于奇数正整数 $n$， $^ n + b ^ n = (a + b) (^ {n} - ^ {2} b + \ ldots - ab ^ {2} + b ^ {n})。$

3. $A ^2 \pm 2ab + b^2 = (A \pm b)^2$

4. $x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 - 3 xyz = (x + y + z) (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2-xy-yz-zx)$

5. $(ax+by)²+ (ay-bx)²= (a²+b²)(x²+y²)$， $(ax-by)²- (ay-bx)²= (a²-b²)(x²-y²)$

6. $x ^ 2 + y ^ 2 z + z z ^ 2 x + x ^ 2 + y ^ 2 x + y z ^ 2 + 2 xyz = (x + y) (y + z) (z + x)$

因式分解通常将表达式转换为一种更容易在代数上操作的形式，具有易于识别的解，并产生明确定义的关系。

求整数解的所有有序对 $(x, y)$这样 $2^x+ 1 = y^2$．

---

我们有 $2^x = y^2-1 = (y-1)(y+1)$．自从因素 $(y-1)$而且 $(y + 1)$右边是整数它们的乘积是2的幂，都是 $(y-1)$而且 $(y + 1)$一定是2的幂。此外，他们的区别是

$(y + 1) - (y-1) = 2,$

暗示因素必须是 $y + 1 = 4$而且 $y-1 = 2$．这给了 $y = 3$,因此 $x = 3$．因此, $(3)$是唯一的解决办法。 $_ \广场$

多项式因式分解的

$f (a, b, c) = ab (^ 2 b ^ 2) + bc (b ^ 2 c ^ 2) + ca (c ^ a ^ 2)。$

---

观察,如果 $a = b$,然后 $F (a, a, c) =0$；如果 $b = c$,然后 $f (a, b, b) = 0$；如果 $c =一个$,然后 $f (c、b、c) = 0$．由Remainder-Factor定理， $(a - b), (c),$而且 $(模型)$的因素 $f (a, b, c)$．这允许我们因式分解

$f (a, b, c) = - (a - b) (c) (c - a) (a + b + c)。\ _ \广场$