sin(nx)和cos(nx)的展开

如果你经历过二倍角公式要么三角配方，您必须学会了如何表达三角函数<年代pan class="katex"> $2 \ theta.$

我们有以下的一般公式:

• ${\罪(n \θ)= \ displaystyle \ sum_ {r = 0 2 r + 1 \ \在leq n} (1) r ^ \ binom {n} {2 r + 1} \因为^ {n-2r-1}(θ)\ \罪^ {2 r + 1}(\θ)}$

• ${\ cos (n \θ)= \ displaystyle \ sum_ {r = 0 \在2 r \ leq n} (1) r ^ \ binom {n} {2 r} \因为^ {n-2r}(θ)\ \罪^ {2 r}(\θ)}$

• ${\ tan（n \ theta）= \ frac {\ displaystyle \ sum_ {r = 0 \ op 2r + 1 \ leq n}（-1）^ r \ binom {n} {2r + 1} \ tan ^ {2r+1}（\ theta）} {\ displaystyle \ sum_ {r = 0 \ atop 2r \ leq n}（-1）^ r \ binom {n} {2r} \ tan ^ {2r}（\ theta）}}$

显示证明

让我们调用De Moivre定理在这里。我们有

$\ cos (n \θ)+ i \罪(n \θ)= \大(我\ \ cosθ(\)+ sinθ)(\ \大)^ n。$

自从<年代pan class="katex"> $n$是一个积极的整数，是二项式定理，n选K适用于<年代pan class="katex"> $大(cos) + isin (sin)大)^n$

因此，通过扩张，我们已经

$(\ \大cosθ(\)+ i \ sinθ)(\ \大)^ n = \因为^ n(\θ)+ n \因为^ {n}(θ)\ \ cdot我\罪(\θ)+ \压裂{n (n - 1)} {1 \ cdot 2} \因为^{2}(θ)\ \ cdot i ^ 2 \罪^ 2θ(\)+ \ cdots。$

自从<年代pan class="katex"> $I ^2 = -1, I ^3 = -i, I ^4 = 1, I ^5 = I，$

${对齐}\ \开始大(我\ \ cosθ(\)+ sinθ)(\ \大)^ n = & \离开\[因为^ nθ(\)\ dfrac {n (n - 1)} {1 \ cdot 2} \因为^{2}(θ)\ \ cdot \罪^ 2θ(\)+ \ dfrac {n (n - 1) (2) (n)} {1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 4} \因为^{4}θ(\)\ cdot \罪^ 4(\θ)+ \ cdots \] \ \ & +我\ [n \因为^ {n}(θ)\ \ cdot \罪θ(\)\ dfrac {n (n - 1) (2)} {1 \ cdot 2 \ cdot 3} \cos^{n-3}(\theta) \cdot \sin^3(\theta) + \cdots \right]. \end{aligned}$

通过使实部和虚部相等，我们得到

$\开始{对齐}\ cos (n \θ)& = \ cos ^ n(\θ)- \ dfrac {n (n - 1)} {1 \ cdot 2} \因为^{2}(θ)\ \ cdot \罪^ 2θ(\)+ \ dfrac {n (n - 1) (2) (n)} {1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 4} \因为^{4}(θ)\ \ cdot \罪^ 4(\θ)+ \ cdots \ \ \罪(n \θ)& = n \ cos ^ {n}(θ)\ \ cdot \罪θ(\)\ dfrac {n (n - 1) (2)} {1 \ cdot 2 \ cdot 3} \因为^ {n}(θ)\ \ cdot\sin^3(\theta) + \cdots， \end{aligned}$

在上述序列的条款交替呈正且消极的情况下。此外，每个系列继续到分子中的一个因素为零，然后停止。因此，证明。

为证明<年代pan class="katex"> $\ tan (n \θ)$

$\ tan (n \θ)= \ dfrac{\罪(n \θ)}{\ cos (n \θ)}= \ dfrac {\ displaystyle \ sum_ {r = 0 2 r + 1 \ \在leq n} (1) r ^ \ binom {n} {2 r + 1} \因为^ {n-2r-1}(θ)\ \罪^ {2 r + 1}(\θ)}{\ displaystyle \ sum_ {r = 0 \在2 r \ leq n} (1) r ^ \ binom {n} {2 r} \因为^ {n-2r}(θ)\ \罪^ {2 r}(\θ)}。$

划分分子和分母<年代pan class="katex"> $(\ \因为^ nθ)$

${\ tan (n \θ)= \压裂{\ displaystyle \ sum_ {r = 0 2 r + 1 \ \在leq n} (1) r ^ \ binom {n} {2 r + 1} \ tan ^ {2 r + 1}(\θ)}{\ displaystyle \ sum_ {r = 0 \在2 r \ leq n} (1) r ^ \ binom {n} {2 r} \ tan ^ {2 r}(\θ)}}。$

因此，我们的证据是完整的。<年代pan class="katex"> $_ \广场$

的角度<年代pan class="katex"> $_1， _2， _3, ldots$

• ${\罪(\ theta_1 + \ theta_2 + \ theta_3 + \ cdots) = \ cos (\ theta_1) \ cdot \ cos (\ theta_2) \ cdot \ cos (\ theta_3) \ dotsm [s_1 - s_3 + s_5 - s_7 + \ cdots]}$
• ${\ cos (\ theta_1 + \ theta_2 + \ theta_3 + \ cdots) = \ cos (\ theta_1) \ cdot \ cos (\ theta_2) \ cdot \ cos (\ theta_3) \ dotsm [1 - s_2 + s_4 - s_6 + \ cdots]}$
• ${\ tan (\ theta_1 + \ theta_2 + \ theta_3 + \ cdots) = \ dfrac {s_1 - s_3 + s_5 - s_7 + \ cdots} {1 - s_2 + s_4 - s_6 + \ cdots}},$

在哪里<年代pan class="katex"> ${s_n = \displaystyle \sum_\text{cycle} \tan(\theta_1) \tan(\theta_2) \tan(\theta_3) \dotsm \tan(\theta_n)}。$

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我们将在这里展示，不使用任何形式的泰勒级数，展开<年代pan class="katex"> $\ sinθ(\),谭\ cosθ(\)\ \(θ)$

以下是广义公式：

• ${\ sin（\ theta）= \ displaystyle \ sum_ {r = 0} ^ \ idty（-1）^ r \ dfrac {\ theta ^ {2r + 1}} {（2r + 1）！}}}$
• ${\ cosθ(\)= \ displaystyle \ sum_ {r = 0} ^ \ infty (1) r ^ \ dfrac{\θ^ {2 r}} {(2 r) !}}$
• ${\ tan(\θ=θ+ \ \ dfrac{\θ^ 3}{3}+ \ dfrac{2 \θ^ 5}{15}+ \ cdots}。$

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我们有以下的一般公式:

如果<年代pan class="katex"> $n$甚至，

• ${\因为^ n(\θ= \ dfrac {1} {2 ^ {n}} \ [\ displaystyle \ sum_{离开r = 0 2 r < n} \ \在binom {n} {2 r} \因为\大(θ(n-2r) \ \大)\右]+ \ dfrac {1} {2 ^ n} \ displaystyle \ binom {n} {n / 2}}$
• ${\罪^ n(\θ= \ dfrac {(1) ^ {n / 2}} {2 ^ {n}}左\ [\ displaystyle \ sum_ {r = 0 \在2 r < n} (1) r ^ \ binom {n} {2 r} \因为\大(θ(n-2r) \ \大)\右]+ \ dfrac {1} {2 ^ n} \ displaystyle \ binom {n} {n / 2}}。$

显示的证据

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如果<年代pan class="katex"> $n$是奇数,

• ${\因为^ n(\θ= \ dfrac {1} {2 ^ {n}} \ [\ displaystyle \ sum_{离开r = 0 2 r < n} \ \在binom {n} {2 r} \因为\大(θ(n-2r) \ \大)\右]}$
• ${\罪^ n(\θ= \ dfrac {(1) ^ {n / 2}} {2 ^ {n}}左\ [\ displaystyle \ sum_ {r = 0 \在2 r < n} (1) r ^ \ binom {n} {2 r} \罪\大(θ(n-2r) \ \大)\]}。$

显示的证据

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