让我们调用德莫弗定理在这里。我们有
因为年代pan>(年代pan>n年代pan>θ年代pan>)年代pan>+年代pan>我年代pan>罪年代pan>(年代pan>n年代pan>θ年代pan>)年代pan>=年代pan>(年代pan>因为年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>+年代pan>我年代pan>罪年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>)年代pan>n年代pan>.年代pan>
自<年代pan class="katex">
n年代pan>是一个正整数吗二项式定理,从n选K适用于<年代pan class="katex">
(年代pan>因为年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>+年代pan>我年代pan>罪年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>)年代pan>n年代pan>.
因此,通过扩张,我们有
(年代pan>因为年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>+年代pan>我年代pan>罪年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>)年代pan>n年代pan>=年代pan>因为年代pan>n年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>+年代pan>n年代pan>因为年代pan>n年代pan>−年代pan>1年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>⋅年代pan>我年代pan>罪年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>+年代pan>1年代pan>⋅年代pan>2年代pan>n年代pan>(年代pan>n年代pan>−年代pan>1年代pan>)年代pan>因为年代pan>n年代pan>−年代pan>2年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>⋅年代pan>我年代pan>2年代pan>罪年代pan>2年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>+年代pan>⋯年代pan>.年代pan>
自<年代pan class="katex">
我年代pan>2年代pan>=年代pan>−年代pan>1年代pan>,年代pan>我年代pan>3.年代pan>=年代pan>−年代pan>我年代pan>,年代pan>我年代pan>4年代pan>=年代pan>1年代pan>,年代pan>我年代pan>5年代pan>=年代pan>我年代pan>,年代pan>…年代pan>,年代pan>我们有
(年代pan>因为年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>+年代pan>我年代pan>罪年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>)年代pan>n年代pan>=年代pan>[年代pan>因为年代pan>n年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>−年代pan>1年代pan>⋅年代pan>2年代pan>n年代pan>(年代pan>n年代pan>−年代pan>1年代pan>)年代pan>因为年代pan>n年代pan>−年代pan>2年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>⋅年代pan>罪年代pan>2年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>+年代pan>1年代pan>⋅年代pan>2年代pan>⋅年代pan>3.年代pan>⋅年代pan>4年代pan>n年代pan>(年代pan>n年代pan>−年代pan>1年代pan>)年代pan>(年代pan>n年代pan>−年代pan>2年代pan>)年代pan>(年代pan>n年代pan>−年代pan>3.年代pan>)年代pan>因为年代pan>n年代pan>−年代pan>4年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>⋅年代pan>罪年代pan>4年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>+年代pan>⋯年代pan>]年代pan>+年代pan>我年代pan>[年代pan>n年代pan>因为年代pan>n年代pan>−年代pan>1年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>⋅年代pan>罪年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>−年代pan>1年代pan>⋅年代pan>2年代pan>⋅年代pan>3.年代pan>n年代pan>(年代pan>n年代pan>−年代pan>1年代pan>)年代pan>(年代pan>n年代pan>−年代pan>2年代pan>)年代pan>因为年代pan>n年代pan>−年代pan>3.年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>⋅年代pan>罪年代pan>3.年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>+年代pan>⋯年代pan>]年代pan>.年代pan>
通过实部和虚部相等,我们得到
因为年代pan>(年代pan>n年代pan>θ年代pan>)年代pan>罪年代pan>(年代pan>n年代pan>θ年代pan>)年代pan>=年代pan>因为年代pan>n年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>−年代pan>1年代pan>⋅年代pan>2年代pan>n年代pan>(年代pan>n年代pan>−年代pan>1年代pan>)年代pan>因为年代pan>n年代pan>−年代pan>2年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>⋅年代pan>罪年代pan>2年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>+年代pan>1年代pan>⋅年代pan>2年代pan>⋅年代pan>3.年代pan>⋅年代pan>4年代pan>n年代pan>(年代pan>n年代pan>−年代pan>1年代pan>)年代pan>(年代pan>n年代pan>−年代pan>2年代pan>)年代pan>(年代pan>n年代pan>−年代pan>3.年代pan>)年代pan>因为年代pan>n年代pan>−年代pan>4年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>⋅年代pan>罪年代pan>4年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>+年代pan>⋯年代pan>=年代pan>n年代pan>因为年代pan>n年代pan>−年代pan>1年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>⋅年代pan>罪年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>−年代pan>1年代pan>⋅年代pan>2年代pan>⋅年代pan>3.年代pan>n年代pan>(年代pan>n年代pan>−年代pan>1年代pan>)年代pan>(年代pan>n年代pan>−年代pan>2年代pan>)年代pan>因为年代pan>n年代pan>−年代pan>3.年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>⋅年代pan>罪年代pan>3.年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>+年代pan>⋯年代pan>,年代pan>
其中上述两个级数的项交替为正负。而且,每一个级数都继续下去,直到分子中的一个因子为零,然后停止。因此,证明。
为了证明<年代pan class="katex">
棕褐色年代pan>(年代pan>n年代pan>θ年代pan>)年代pan>观察一下
棕褐色年代pan>(年代pan>n年代pan>θ年代pan>)年代pan>=年代pan>因为年代pan>(年代pan>n年代pan>θ年代pan>)年代pan>罪年代pan>(年代pan>n年代pan>θ年代pan>)年代pan>=年代pan>2年代pan>r年代pan>≤年代pan>n年代pan>r年代pan>=年代pan>0年代pan>∑年代pan>(年代pan>−年代pan>1年代pan>)年代pan>r年代pan>(年代pan>2年代pan>r年代pan>n年代pan>)年代pan>因为年代pan>n年代pan>−年代pan>2年代pan>r年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>罪年代pan>2年代pan>r年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>2年代pan>r年代pan>+年代pan>1年代pan>≤年代pan>n年代pan>r年代pan>=年代pan>0年代pan>∑年代pan>(年代pan>−年代pan>1年代pan>)年代pan>r年代pan>(年代pan>2年代pan>r年代pan>+年代pan>1年代pan>n年代pan>)年代pan>因为年代pan>n年代pan>−年代pan>2年代pan>r年代pan>−年代pan>1年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>罪年代pan>2年代pan>r年代pan>+年代pan>1年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>.年代pan>
分子分母同时除以<年代pan class="katex">
因为年代pan>n年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>获得
棕褐色年代pan>(年代pan>n年代pan>θ年代pan>)年代pan>=年代pan>2年代pan>r年代pan>≤年代pan>n年代pan>r年代pan>=年代pan>0年代pan>∑年代pan>(年代pan>−年代pan>1年代pan>)年代pan>r年代pan>(年代pan>2年代pan>r年代pan>n年代pan>)年代pan>棕褐色年代pan>2年代pan>r年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>2年代pan>r年代pan>+年代pan>1年代pan>≤年代pan>n年代pan>r年代pan>=年代pan>0年代pan>∑年代pan>(年代pan>−年代pan>1年代pan>)年代pan>r年代pan>(年代pan>2年代pan>r年代pan>+年代pan>1年代pan>n年代pan>)年代pan>棕褐色年代pan>2年代pan>r年代pan>+年代pan>1年代pan>(年代pan>θ年代pan>)年代pan>.年代pan>
因此,我们的证明是完整的。<年代pan class="katex">
□年代pan>