三角方程-倍角公式

的三角双角公式用角本身的三角函数给出应用于两个角的基本三角函数之间的关系。

倍角公式:

我们有

$\开始{对齐}\罪2 x & = 2 \ sin (x) \ cos x \ \ \ \ \因为2 x & = \ cos ^ 2 x - \罪^ 2 x \ \ & = 2 \ cos ^ 2 x - 1 \ \ & = 1 - 2罪\ ^ 2 x \ \ & = \压裂{1 - \ tan ^ 2 x} {1 + \ tan ^ 2 x} \ \ \ \ \ tan 2 x & = \压裂{2 \ tanx}} {1 - \ tan ^ 2 x。\ \ _ \广场结束{对齐}$

我们可以用正弦和余弦的和公式来证明倍角恒等式:

$罪\开始{对齐}\ 2 x & = \ sin (x + x) \ \ & = \ sin (x) \ cos (x + \ cos x \ sin (x) \ \ & = 2 \ sin (x) \因为x \ \ \ \ \因为2 x & = \ cos (x + x) \ \ & = \ cos x \ cos x - \ sin (x) \ sin (x) \ \ & = \ cos ^ 2 x - \罪^ 2 x。\ \ _ \广场结束{对齐}$

从这些公式中，我们还得到下列恒等式:

$罪\开始{对齐}\ ^ 2 x = \压裂{1}{2}(1 - \ cos 2 x) \ \ \因为^ 2 x = \压裂{1}{2}(1 + \因为2 x) \ \ \ sin (x) \ cos (x = \压裂{1}{2}(\罪2 x) \ \ \ tan ^ 2 x = \压裂{1 - \因为2 x}}{1 + \因为2 x。结束\{对齐}$

我们有

$\开始{对齐}\ sinh 2 x = 2 \ sinh x \ cosh \ \ \ \ \ cosh 2 x & = \ cosh ^ 2 x + \ sinh ^ 2 x \ \ & = 2 \ cosh ^ 2 x - 1 \ \ & = 2 \ sinh x ^ 2 + 1 \ \ \ \ \双曲正切2 x & = \压裂{2 \双曲正切x}{1 + \双曲正切^ 2 x} \{对齐}结束。$

证明身份 $$

${begin{aligned}(sin x + cos x)^2=1+ sin 2x.\end{aligned}$

---

我们有

$\{对齐}开始(\ sin (x) + \ cos (x) ^ 2 & = \罪^ 2 x + \ cos ^ 2 x + 2 \ sin (x) \因为x \ \ & = 1 + 2 \ sin (x) \ cos x \ \ & = 1 + \罪2 x。\ \ _ \广场结束{对齐}$

证明身份 $$

$sin2x = tanx (1+ cos2x)$

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我们有

$\开始{对齐}\压裂{\ sin (x)} {x} \ cos(1 + \因为2 x) & = \压裂{\ sin (x)} {\ cos x} \离开(1 + 2 \ cos ^ 2 x - 1 \) \ \ & = \压裂{\ sin (x)} {x} \ cos (2 \ cos ^ 2 x) \ \ & = 2 \ sin (x) \因为x \ \ & = \罪2 x。\ \ _ \广场结束{对齐}$

证明身份 $$

$当x= 0时，x= 0, x= 0, x= 0。$

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我们有

$\开始{对齐}\压裂{\床x - \ tanx}{\床x + \ tanx} & = \压裂{\压裂{\ cos x} {\ sin (x)} - \压裂{\ sin (x)} {\ cos x}}{\压裂{\ cos x} {\ sin (x)} + \压裂{\ sin (x)} {\ cos x}} \ \ & = \压裂{\ cos ^ 2 x - \罪^ 2 x} {\ cos ^ 2 x + \罪^ 2 x} \ \ & = \ cos 2 x。\ \ _ \广场结束{对齐}$

下面是一些重要的术语:

• 正矢 $x:$ $\text{vers}(x) = 1 - \cos x = 2\sin^2 \frac{x}{2}$
• 余矢 $x:$ $\text{vercos}(x)= 1 + \cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$
• 介绍了正弦 $x:$ ${覆盖}\文本(x) = 1 - \ sin (x) = \离开罪恶(\ \压裂{x}{2} - \因为\压裂{x}{2} \右)^ 2$
• 涵盖了余弦 $x:$ $文本\ {covercos} (x) = 1 + \ sin (x) = \离开罪恶(\ \压裂{x}{2} + \因为\压裂{x}{2} \右)^ 2$
• ${和弦}(x) = \ \文本文本{crd} (x) = 2 \罪\压裂{x}{2}。$