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的方向余弦是向量与坐标轴夹角的三个余弦值。
另一种思考方法是把它们看成单位向量的对应分量指向相同的方向。
这叫做三个方向的余弦 l ， 米 ， l, m, l，米，和 n ， n, n，分别。
为一个向量 v ⃗ ＝ 一个 我 ＾ + b j ＾ + c k ＾ vec {v} = \ \ \ widehat{我}+ b \ \ widehat {j} + c \ \ widehat {k} v ＝一个我 +bj +ck 圆弧相对角度 α ， β ， γ \α,β\ \γ α，β，γ与 x x x-， y y y-， z z z轴，我们有 l ＝ 因为 α ＝ v ⃗ ⋅ 我 ＾ ∥ v ⃗ ∥ ＝ 一个 ∥ v ⃗ ∥ 米 ＝ 因为 β ＝ v ⃗ ⋅ j ＾ ∥ v ⃗ ∥ ＝ b ∥ v ⃗ ∥ n ＝ 因为 γ ＝ v ⃗ ⋅ k ＾ ∥ v ⃗ ∥ ＝ c ∥ v ⃗ ∥ ． \{对齐}开始l & = \ cosα= \ \压裂vec {v} {\ \ cdot \ widehat{我}}{\左右vec {v} \ \ | \ \ |} = \ dfrac{一}{\左右vec {v} \ \ | \ \ |} \ \ \ \ m & = \因为\β= \压裂vec {v} {\ \ cdot \ widehat {j}}{\左右vec {v} \ \ | \ \ |} = \ dfrac {b}{\左右vec {v} \ \ | \ \ |} \ \ \ \ n & = \因为\γ= \压裂vec {v} {\ \ cdot \ widehat {k}}{\左右vec {v} \ \ | \ \ |} =c \ dfrac{}{\左右vec {v} \ \ | \ \ |}。结束\{对齐} l米n＝因为α＝∥v ∥v ⋅我 ＝∥v ∥一个＝因为β＝∥v ∥v ⋅j ＝∥v ∥b＝因为γ＝∥v ∥v ⋅k ＝∥v ∥c．
为一个向量 v ⃗ ＝ 一个 我 ＾ + b j ＾ + c k ＾ vec {v} = \ \ \ widehat{我}+ b \ \ widehat {j} + c \ \ widehat {k} v ＝一个我 +bj +ck 圆弧相对角度 α ， β ， γ \α,β\ \γ α，β，γ与 x x x-， y y y-， z z z轴，我们有
l ＝ 因为 α ＝ v ⃗ ⋅ 我 ＾ ∥ v ⃗ ∥ ＝ 一个 ∥ v ⃗ ∥ 米 ＝ 因为 β ＝ v ⃗ ⋅ j ＾ ∥ v ⃗ ∥ ＝ b ∥ v ⃗ ∥ n ＝ 因为 γ ＝ v ⃗ ⋅ k ＾ ∥ v ⃗ ∥ ＝ c ∥ v ⃗ ∥ ． \{对齐}开始l & = \ cosα= \ \压裂vec {v} {\ \ cdot \ widehat{我}}{\左右vec {v} \ \ | \ \ |} = \ dfrac{一}{\左右vec {v} \ \ | \ \ |} \ \ \ \ m & = \因为\β= \压裂vec {v} {\ \ cdot \ widehat {j}}{\左右vec {v} \ \ | \ \ |} = \ dfrac {b}{\左右vec {v} \ \ | \ \ |} \ \ \ \ n & = \因为\γ= \压裂vec {v} {\ \ cdot \ widehat {k}}{\左右vec {v} \ \ | \ \ |} =c \ dfrac{}{\左右vec {v} \ \ | \ \ |}。结束\{对齐} l米n＝因为α＝∥v ∥v ⋅我 ＝∥v ∥一个＝因为β＝∥v ∥v ⋅j ＝∥v ∥b＝因为γ＝∥v ∥v ⋅k ＝∥v ∥c．
l 2 + 米 2 + n 2 ＝ 1 L²+ m²+ n²= 1 l2+米2+n2＝1
根据定义，我们可以得出这样的结论 l ＝ 一个 一个 2 + b 2 + c 2 米 ＝ b 一个 2 + b 2 + c 2 n ＝ c 一个 2 + b 2 + c 2 ． \{对齐}开始l & = \压裂{一}{\√6 {a ^ 2 + ^ 2 + c ^ 2}} \ \ \ \ m & = \压裂{b}{\√6 {a ^ 2 + ^ 2 + c ^ 2}} \ \ \ \ n & = \压裂{c}{\√6 {a ^ 2 + ^ 2 + c ^ 2}}。结束\{对齐} l米n＝一个2+b2+c2 一个＝一个2+b2+c2 b＝一个2+b2+c2 c． 这是真的 ∥ v ⃗ ∥ ＝ 一个 2 + b 2 + c 2 \左右vec {v} \ \ | \ \ | = \√6 {a ^ 2 + ^ 2 + c ^ 2} ∥v ∥＝一个2+b2+c2 由勾股定理．同时，注意点积用一个单位向量返回这个单位向量方向上的分量。 把上面的三个方程平方和相加，不难看出这一点 l 2 + 米 2 + n 2 ＝ 1. □ L²+ m²+ n²= 1。\ _ \广场 l2+米2+n2＝1．□
根据定义，我们可以得出这样的结论
l ＝ 一个 一个 2 + b 2 + c 2 米 ＝ b 一个 2 + b 2 + c 2 n ＝ c 一个 2 + b 2 + c 2 ． \{对齐}开始l & = \压裂{一}{\√6 {a ^ 2 + ^ 2 + c ^ 2}} \ \ \ \ m & = \压裂{b}{\√6 {a ^ 2 + ^ 2 + c ^ 2}} \ \ \ \ n & = \压裂{c}{\√6 {a ^ 2 + ^ 2 + c ^ 2}}。结束\{对齐} l米n＝一个2+b2+c2 一个＝一个2+b2+c2 b＝一个2+b2+c2 c．
这是真的 ∥ v ⃗ ∥ ＝ 一个 2 + b 2 + c 2 \左右vec {v} \ \ | \ \ | = \√6 {a ^ 2 + ^ 2 + c ^ 2} ∥v ∥＝一个2+b2+c2 由勾股定理．同时，注意点积用一个单位向量返回这个单位向量方向上的分量。
把上面的三个方程平方和相加，不难看出这一点
l 2 + 米 2 + n 2 ＝ 1. □ L²+ m²+ n²= 1。\ _ \广场 l2+米2+n2＝1．□
类似地，我们可以用点积来计算两个向量的夹角。
如果 v 1 → \ overrightarrow {v_1} v1 和 v 2 → \ overrightarrow {v_2} v2 两个向量的角度是 θ \θ θ他们之间, 因为 θ ＝ v 1 ⃗ ⋅ v 2 ⃗ ∥ v 1 ⃗ ∥ ∥ v 2 ⃗ ∥ ． \ cosθ= \ \压裂vec {v_1} {\ \ cdot \ vec {v_2}}{\左右vec {v_1} \ \ | \ \ | \左右vec {v_2} \ \ | \ \ |}。 因为θ＝∥v1 ∥∥v2 ∥v1 ⋅v2 ．
如果 v 1 → \ overrightarrow {v_1} v1 和 v 2 → \ overrightarrow {v_2} v2 两个向量的角度是 θ \θ θ他们之间,
因为 θ ＝ v 1 ⃗ ⋅ v 2 ⃗ ∥ v 1 ⃗ ∥ ∥ v 2 ⃗ ∥ ． \ cosθ= \ \压裂vec {v_1} {\ \ cdot \ vec {v_2}}{\左右vec {v_1} \ \ | \ \ | \左右vec {v_2} \ \ | \ \ |}。 因为θ＝∥v1 ∥∥v2 ∥v1 ⋅v2 ．
这直接遵循点积的定义: v 1 ⃗ ⋅ v 2 ⃗ ＝ ∥ v 1 ⃗ ∥ ∥ v 2 ⃗ ∥ 因为 θ ⇒ 因为 θ ＝ v 1 ⃗ ⋅ v 2 ⃗ ∥ v 1 ⃗ ∥ ∥ v 2 ⃗ ∥ ． □ vec {v_1} \开始{对齐}\ \ vec {v_2} & = cdot \ \左右vec {v_1} \ \ | \ \ | \左右vec {v_2} \ \ | \ \ | \ cosθ\ \ \ \ Rightarrow \ cosθ& = \ \压裂vec {v_1} {\ \ cdot \ vec {v_2}}{\左右vec {v_1} \ \ | \ \ | \左右vec {v_2} \ \ | \ \ |}。\ \ _ \广场结束{对齐} v1 ⋅v2 ⇒因为θ＝∥v1 ∥∥v2 ∥因为θ＝∥v1 ∥∥v2 ∥v1 ⋅v2 ．□
这直接遵循点积的定义:
v 1 ⃗ ⋅ v 2 ⃗ ＝ ∥ v 1 ⃗ ∥ ∥ v 2 ⃗ ∥ 因为 θ ⇒ 因为 θ ＝ v 1 ⃗ ⋅ v 2 ⃗ ∥ v 1 ⃗ ∥ ∥ v 2 ⃗ ∥ ． □ vec {v_1} \开始{对齐}\ \ vec {v_2} & = cdot \ \左右vec {v_1} \ \ | \ \ | \左右vec {v_2} \ \ | \ \ | \ cosθ\ \ \ \ Rightarrow \ cosθ& = \ \压裂vec {v_1} {\ \ cdot \ vec {v_2}}{\左右vec {v_1} \ \ | \ \ | \左右vec {v_2} \ \ | \ \ |}。\ \ _ \广场结束{对齐} v1 ⋅v2 ⇒因为θ＝∥v1 ∥∥v2 ∥因为θ＝∥v1 ∥∥v2 ∥v1 ⋅v2 ．□
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