n的平方的身份

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主要文章:Diophantus的身份

它被称为Diophantus的身份或者是Brahmagupta-Fibonacci身份．声明如下:

如果两个正整数都是两个平方和，那么它们的乘积就是两个平方和。

考虑四个整数， $A, b, c$, $d$．

$\{对齐}开始(a ^ 2 + ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) = a ^ 2 c ^ 2 + 2 ^ 2 d ^ + ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 d c ^ 2 & = ^ 2 ^ 2 + 2 ^ 2 d ^ + ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 d ^ 2 - 2 abcd + 2 abcd \ \ & = (^ 2 c ^ 2 \下午2 abcd + b 2 d ^ ^ 2) + (2 ^ 2 d ^ \ b mp 2 abcd + ^ 2 c ^ 2) \ \ & = (ac \ pm bd) ^ 2 + (ad \议员bc) ^ 2 \{对齐}结束$

它被称为欧拉的四方恒等式．欧拉四平方等式说两个数的乘积，每个数都是四个平方和，它本身也是四个平方和。

$(a_1 ^ 2 + a₂^ 2 + a_3 ^ 2 + a_4 ^ 2) (b_1 ^ 2 + b_2 ^ 2 + b_3 ^ 2 + b_4 ^ 2) = \ \ (a_1 b_1 - a₂b_2 a_3 b_3——a_4 b_4) ^ 2 + \ \ (a_1 b_2 + a₂b_1 + a_3 b_4——a_4 b_3) ^ 2 + \ \ (a_1 b_3 - a₂b_4 + a_3 b_1 + a_4 b_2) ^ 2 + \ \ (a_1 b_4 + a₂b_3 - a_3 b_2 + a_4 b_1) ^ 2。$

它被称为德根的八方恒等式

$(a_1 ^ 2 + a₂^ 2 + a_3 ^ 2 + a_4 ^ 2 + a_5 ^ 2 + a_6 ^ 2 + a_7 ^ 2 + a_8 ^ 2) (b_1 ^ 2 + b_2 ^ 2 + b_3 ^ 2 + b_4 ^ 2 + b_5 ^ 2 + b_6 ^ 2 + b_7 ^ 2 + b_8 ^ 2) =$ $(a_1b_1 - a_2b_2 a_3b_3 a_4b_4 - a_5b_5 a_6b_6 - a_7b_7 a_8b_8) ^ 2 +$ $(a_1b_2 + a_2b_1 + a_3b_4 - a_4b_3 + a_5b_6 a_6b_5 a_7b_8 + a_8b_7) ^ 2 +$ $(a_1b_3 - a_2b_4 + a_3b_1 + a_4b_2 + a_5b_7 + a_6b_8 - a_7b_5 a_8b_6) ^ 2 +$ $(a_1b_4 + a_2b_3 - a_3b_2 + a_4b_1 + a_5b_8 - a_6b_7 + a_7b_6 a_8b_5) ^ 2 +$ $(a_1b_5 - a_2b_6 a_3b_7 a_4b_8 + a_5b_1 + a_6b_2 + a_7b_3 + a_8b_4) ^ 2 +$ $(a_1b_6 + a_2b_5 - a_3b_8 + a_4b_7 - a_5b_2 + a_6b_1 - a_7b_4 + a_8b_3) ^ 2 +$ $(a_1b_7 + a_2b_8 + a_3b_5 - a_4b_6 a_5b_3 + a_6b_4 + a_7b_1 - a_8b_2) ^ 2 +$ $(a_1b_8 a_2b_7 + a_3b_6 + a_4b_5 - a_5b_4 a_6b_3 + a_7b_2 + a_8b_1) ^ 2$

它被称为Pfister的16平方恒等式

$(x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + x_3 ^ 2 + \ cdots +间{16}^ 2)\,(y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2 + y_3 ^ 2 + \ cdots + y_ {16} ^ 2) = z_1 ^ 2 + z_2 ^ 2 + z_3 ^ 2 + \ cdots + z_ {16} ^ 2$在哪里 $z_i$是 $z_1 = x_1 y_1——x_2 y_2——x_3 y_3——x_4 y_4——x_5 y_5——x_6 y_6——x_7 y_7——x_8 y_8 + u_1 y_9——u_2 y_ {10} - u_3 y_ {11} - u_4 y_ {12} - u_5 y_ {13} - u_6 y_ {14} - u_7 y_ {15} - u_8 y_ {16}$ $z_2 = x_2 y_1 + x_1 y_2 + x_4 y_3——x_3 y_4 + x_6 y_5——x_5 y_6——x_8 y_7 + x_7 y_8 + u_2 y_9 + u_1 y_ {10} + u_4 y_ {11} - u_3 y_ {12} + u_6 y_ {13} - u_5 y_ {14} - u_8 y_ {15} + u_7 y_ {16}$ $z_3 = x_3 y_1——x_4 y_2 + x_1 y_3 + x_2 y_4 + x_7 y_5 + x_8 y_6——x_5 y_7——x_6 y_8 + u_3 y_9——u_4 y_ {10} + u_1 y_ {11} + u_2 y_ {12} + u_7 y_ {13} + u_8 y_ {14} - u_5 y_ {15} - u_6 y_ {16}$ $z_4 = x_4 y_1 + x_3 y_2——x_2 y_3 + x_1 y_4 + x_8 y_5——x_7 y_6 + x_6 y_7——x_5 y_8 + u_4 y_9 + u_3 y_ {10} - u_2 y_ {11} + u_1 y_ {12} + u_8 y_ {13} - u_7 y_ {14} + u_6 y_ {15} - u_5 y_ {16}$ $z_5 = x_5 y_1——x_6 y_2——x_7 y_3——x_8 y_4 + x_1 y_5 + x_2 y_6 + x_3 y_7 + x_4 y_8 + u_5 y_9——u_6 y_ {10} - u_7 y_ {11} - u_8 y_ {12} + u_1 y_ {13} + u_2 y_ {14} + u_3 y_ {15} + u_4 y_ {16}$ $z_6 = x_6 y_1 + x_5 y_2——x_8 y_3 + x_7 y_4——x_2 y_5 + x_1 y_6——x_4 y_7 + x_3 y_8 + u_6 y_9 + u_5 y_ {10} - u_8 y_ {11} + u_7 y_ {12} - u_2 y_ {13} + u_1 y_ {14} - u_4 y_ {15} + u_3 y_ {16}$ $z_7 = x_7 y_1 + x_8 y_2 + x_5 y_3——x_6 y_4——x_3 y_5 + x_4 y_6 + x_1 y_7——x_2 y_8 + u_7 y_9 + u_8 y_ {10} + u_5 y_ {11} - u_6 y_ {12} - u_3 y_ {13} + u_4 y_ {14} + u_1 y_ {15} - u_2 y_ {16}$ $z_8 = x_8 y_1——x_7 y_2 + x_6 y_3 + x_5 y_4——x_4 y_5——x_3 y_6 + x_2 y_7 + x_1 y_8 + u_8 y_9——u_7 y_ {10} + u_6 y_ {11} + u_5 y_ {12} - u_4 y_ {13} - u_3 y_ {14} + u_2 y_ {15} + u_1 y_ {16}$ $z_9 = x_9 y_1——间{10}y_2——间{11}y_3——间{12}y_4——间{13}y_5——间{14}y_6——间{15}y_7——间{16}y_8 + x_1 y_9——x_2 y_ {10} - x_3 y_ {11} - x_4 y_ {12} - x_5 y_ {13} - x_6 y_ {14} - x_7 y_ {15} - x_8 y_ {16}$ $z_{10} =间{10}y_1 + x_9 y_2 +间{12}y_3——间{11}y_4 +间{14}y_5——间{13}y_6——间{16}y_7 +间{15}y_8 + x_2 y_9 + x_1 y_ {10} + x_4 y_ {11} - x_3 y_ {12} + x_6 y_ {13} - x_5 y_ {14} - x_8 y_ {15} + x_7 y_ {16}$ $z_{11} =间{11}y_1——间{12}y_2 + x_9 y_3 +间{10}y_4 +间{15}y_5 +间{16}y_6——间{13}y_7——间{14}y_8 + x_3 y_9——x_4 y_ {10} + x_1 y_ {11} + x_2 y_ {12} + x_7 y_ {13} + x_8 y_ {14} - x_5 y_ {15} - x_6 y_ {16}$ $z_{12} =间{12}y_1 +间{11}y_2——间{10}y_3 + x_9 y_4 +间{16}y_5——间{15}y_6 +间{14}y_7——间{13}y_8 + x_4 y_9 + x_3 y_ {10} - x_2 y_ {11} + x_1 y_ {12} + x_8 y_ {13} - x_7 y_ {14} + x_6 y_ {15} - x_5 y_ {16}$ $z_{13} =间{13}y_1——间{14}y_2——间{15}y_3——间{16}y_4 + x_9 y_5 +间{10}y_6 +间{11}y_7 +间{12}y_8 + x_5 y_9——x_6 y_ {10} - x_7 y_ {11} - x_8 y_ {12} + x_1 y_ {13} + x_2 y_ {14} + x_3 y_ {15} + x_4 y_ {16}$ $z_{14} =间{14}y_1 +间{13}y_2——间{16}y_3 +间{15}y_4——间{10}y_5 + x_9 y_6——间{12}y_7 +间{11}y_8 + x_6 y_9 + x_5 y_ {10} - x_8 y_ {11} + x_7 y_ {12} - x_2 y_ {13} + x_1 y_ {14} - x_4 y_ {15} + x_3 y_ {16}$ $z_{15} =间{15}y_1 +间{16}y_2 +间{13}y_3——间{14}y_4——间{11}y_5 +间{12}y_6 + x_9 y_7——间{10}y_8 + x_7 y_9 + x_8 y_ {10} + x_5 y_ {11} - x_6 y_ {12} - x_3 y_ {13} + x_4 y_ {14} + x_1 y_ {15} - x_2 y_ {16}$ $z_{16} =间{16}y_1——间{15}y_2 +间{14}y_3 +间{13}y_4——间{12}y_5——间{11}y_6 +间{10}y_7 + x_9 y_8 + x_8 y_9——x_7 y_ {10} + x_6 y_ {11} + x_5 y_ {12} - x_4 y_ {13} - x_3 y_ {14} + x_2 y_ {15} + x_1 y_ {16}$