:帝尔沃斯历史学定理
定义
一个半序集是一组 与的关系 在 让人满意的原因:
(1) 对所有 (自反性)
(2)如果 和 ,然后 (反对称性)
(3)如果 和 ,然后 (传递性)
注意,对于两个给定的元素 和 ,情况可能并非如此 和 是类似的,也就是说, 或 .如果这对所有对都成立 和 在 ,我们说 是完全命令.
一组 天下之人,与之同 定义为“是的直系后代”,是一个部分有序集。一组 正整数的 由“除”定义,是一个部分有序集。
注意,这两个集合都不是完全有序的。一个兄弟和一个姐妹是不能比较的 ,因为他们不是彼此的直系后代;和 和 是不可比拟的 ,因为双方都不分裂对方。
有两种自然的方法来定义有限部分有序集的宽度,它可以被认为是衡量它与完全有序的距离有多远;宽度被定义为一个特定的正整数,即 当且仅当集合完全有序时。
一个链在部分有序集合中,是相互具有可比性的元素的子集。一个反链是元素的子集,其中没有两个元素是可比较的。
(1)定义宽度有限的部分有序集 需要覆盖的最低连锁数量是多少 ,即链的最小数目,使任何元素 至少在一条锁链里。
(2)定义宽度有限的部分有序集 反链的最大尺寸是在 .
如上所述,这两个定义在某种意义上都表明距离有多远 就是被完全命令。注意,链是完全有序的子集 ,所以这两个定义都给出了宽度 对于一个完全有序的集合。
让 的除数的集合 ,可整除为偏序。然后下面的链条盖上 : 和 反链有长度吗 .这不是显而易见的,但链覆盖是最小的(虽然不是唯一的),反链是最大的(虽然不是唯一的)。所以宽度的两个定义都给出了 对于这个部分有序集合。
哈斯图
迪尔沃斯定理和米尔斯基定理的陈述
所以迪尔沃斯定理说,上面给出的两种宽度的定义是一致的。:帝尔沃斯历史学定理:让 是有限部分有序集。最大反链的大小等于最小链盖的大小 .
通常情况下,当证明两个量相等时,证明表明它们彼此小于或等于。其中一个不等式比另一个简单得多:假设最大反链有长度 ;那么任何链条罩至少要有 链,因为反链中的两个元素不可能在同一条链上,但它们必须在其中一条链上,因为这些链会覆盖。
这个定理的另一部分证明在wiki的最后。下面的“对偶”定理比较容易证明:
米尔斯基定理:让 是有限部分有序集。最大链的大小 等于最小的防链盖的大小 .
米尔斯基定理的证明:同样,二分之一很简单。假设最大链有长度 ;那么任何反链罩至少有 反链,因为链上的两个元素不可能在同一个反链上。
现在定义一个函数 通过 最大元素为的最大链的大小 .注意,如果 ,然后 和 不能比较(为什么?)对于任何正整数 ,一组 在所有的元素中 这样 是一个反链。如果最大链有长度 ,然后是布景 形成反链覆盖 .这些集合是否都是非空的并不明显(尽管它们确实是非空的),但这表明存在一个最大大小的反链覆盖 ,这是定理证明的第二部分。
一种查看集合的方法 如果在证明中构造的一个点被画在水平面上,那么它就像哈塞图的水平“条” 如果在这一点的最长链有长度 .可以很容易地检查上面例子中的两个Hasse图是否以这种方式构造。
应用程序
Erdős-Szekeres定理:至少是一个序列 实数的子序列长度是递增的 或者是长度递减的子序列 .
例如:任意序列的 实数的子序列长度是递增的 或者是长度递减的子序列 .或者:任意序列 实数有一个长度单调的子序列 .
证明:假设我们已知一个序列 实数。定义一个排序 在这个序列上 如果 和 .按照这个顺序,链就是一个递增的子序列,而反链就是一个递减的子序列。假设没有长度的反链 .然后设置的宽度是最大的 ,那么根据迪尔沃斯定理,这个集合可以被 链。如果这些链都有长度 ,则该集最多有 这是不可能的。所以至少有一条链是有长度的 子序列的长度是递增的 .
这是关于部分有序集的一般事实的一个特殊情况,它以完全相同的方式遵循迪尔沃斯定理:
大小的部分有序集 有一条长度的链吗 或者是反链的长度 .
让 是实数线上的间隔。假设没有四个区间是不相交的。证明一定有四个区间有一个共同的点。
解决方案:定义一个部分顺序 当且仅当 和 是不相交的, 在左边吗 .假设没有长度的链 所以一定有一个长度相同的反链 ,它是四个区间的子集,其中没有两个是不相交的。因此他们有一个共同点。(为什么?)
迪尔沃斯定理的证明
最简单的证明方法是用集合大小的归纳法。让 为最大反链的大小 .证据将证明这一点 可以覆盖 链。基本情况是平凡的。假设所有小于的集合都证明了这个结果 .
第一,如果没有两个元素 类似的,那么 它本身是一个反链,它可以被 各长度链 ,所以结果成立。否则,考虑的元素集 哪些元素可以与元素中的至少一个元素相媲美 让 为该集合的最小元素( 对所有类似 ),并选择 是非空子集的最大元素 然后 显然是一个极大元素( 对所有类似 ).让 .如果最大的反链在 有大小 ,然后 可以覆盖 链,所以 能被那些加链覆盖吗 ,其结果将得到证实 .
现在假设最大的反链 有大小 它不能更大,因为 是 ).称之为反链 .
证明的其余部分的想法是:画出Hasse图 其中最大的反链由水平条组成。把所有在带钢下面的东西和带钢上面的东西,用感应法把这些东西用链条盖住,然后把链条连接在一起,把它们跨带钢连接起来。
也就是说,构造这两个集合 然后 一定是全部的 因为如果不是这样的话 不是最大反链 .和 ,因为如果 是在十字路口吗 对于一些元素 ,所以 和 都可以通过传递性进行比较,所以唯一的可能性是 它们都相等 .
自 和 不是在 ,情况一定是这样 和 ,所以是两个集合 和 严格小于 .归纳假设对两者都适用 和 ,所以它们都被覆盖 链,每个链必须包含一个元素 .打电话给他们 和 .现在我们可以把这些盖子缝在一起,把所有的 被锁链锁住 .这个封面 链,所以结果遵循归纳法。