微分方程-欧拉方法-小步长
考虑如下形式的线性微分方程: 在求解微分方程时,我们通常会遇到用特定的技术可以求解的方程,但在大多数情况下,微分方程不能化为简化形式。为了绕过这个势垒,我们设计了一种数值逼近方法。最简单和最古老的方法之一的近似微分方程被称为欧拉方法欧拉方法是一阶方法,即局部误差与步长平方成正比,全局误差与步长成正比。欧拉方法通常作为构造更复杂方法的基础。
欧拉的方法依赖于这样一个事实,即在接近一点时,函数和它的正切值几乎相同。让 是增量的变化 -coordinate,也称为步长。
从上图中,我们得到了该点的切线斜率 是 .已知切线的斜率和一个起始点 的值 位于 .
我们从坐标几何中得到
现在我们递归地继续 求的值 .切线的斜率 等于 .然后使用与上面相同的步骤,我们有
一般情况下,我们有
现在,为了理解我们刚才所做的事情的目的,让我们看看下图,它显示了当 变得越来越小:
蓝色的线是最小的线 价值,因此 切线的值越来越小,切线的值越来越接近实数。
考虑一个函数 这样 而且 .用欧拉步长法 求得到的近似
用欧拉步长法 我们有
所以我们有 .
考虑一个函数 这样 而且 .用欧拉步长法 求得到的近似
用欧拉步长法 我们有