可微函数

在微积分,一个可微函数是一个连续函数它的导数在定义域上的所有点上都存在。也就是a的图像可微函数在其定义域的每一点上必须有一条(非垂直的)切线，相对“平滑”(但在数学上不一定平滑)，并且不能包含任何断点、角或尖。可微性是微积分中重要定理的基础，如中值定理．

一个函数 $f$是可微的在一个点 $从$如果

1） $f$是连续的 $从$和
2)点处切线的斜率 $从$是定义良好的。

点 $c$的时间间隔 $[a, b]$函数的 $f (x)$，其中函数是连续的 $[a, b]$，有一个角落里如果

$\ lim_ {x \ rightarrow c ^ {-}} \ dfrac {d} {dx} \[大f (x) \]大\ neq \ lim_ {x \ rightarrow c ^ {+}} \ dfrac {d} {dx} \[大f (x) \]大$

但这两个限制都存在。

注意:角是不可微分的。

点 $c$的时间间隔 $[a, b]$函数的 $f (x)$，其中函数是连续的 $[a, b],$有一个尖端如果下列某一项是正确的:

• $c^{-}} \ drac {d}{dx} \left[f(x) \right] = + \infty . (f(x)$和 $c^{+}}\ dfrac{d}{dx}\left[f(x) \right] = + \infty，$或
• $c^{-}}\ drac {d}{dx}\left[f(x) \right] = - \infty . (x = 0$和 $c^{+}}\ drac {d}{dx}\left[f(x) \right] = - \infty. ()$

注意:尖是不可微的

真或假?

如果一个函数是处处连续的，那么它就是处处可微的。

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假．

例1:Weierstrass函数是无限凹凸不平的，所以在任何点都不能求导。但它无处不在。

例如:2 $F (x) =左| x右|$是否处处都是连续的，但有一个角落 $x = 0。$我们找不到角上的导数因为导数是一个极限0的左边导数不等于0的右边导数。

一个函数 $f (x)$是光滑的沿着 $(a, b)$如果一阶导数， $f (x)$，沿着 $(a, b)。$

导数的中值定理

如果一个函数 $f (x)$上是连续的 $[a, b]$和可微的 $(a, b)$，则至少存在一个点 $x = c$这样 $f (c) = \压裂{f - f (a) (b)} {b}$．

函数的 $f (x) = x ^ {3}$的值 $x$满足区间上的中值定理 $[1]$．

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我们知道 $f (x)$上是连续的 $[a, b]$和可微的 $(a, b)$，所以确实存在 $x$满足中值定理的值。

我们想知道在什么情况下tan的斜率等于sec的斜率 $－1$来 $1$在 $f (x) = x ^ 3$,这是 $f(1) - f(-1)}{1-(-1)} = 1$

根据权力法则， $f (x) = 3 x ^{2}。$集 $f (x) = 1$解这个方程 $3 x ^ {2} = 1:$

$3x^2 - 1 = 0意味着x= pm = dfrac{1}{根号{3}}。$

这两个 $x$价值就是价值 $x$哪条切线的斜率等于从哪条切线出发的斜率 $－1$来 $1$在 $f (x) = x ^ {3}$． $_ \广场$

积分的中值定理

给定一个函数 $f (x)$的时间间隔 $[a, b],$如果 $h (x)$上是连续的 $[a, b]$和可微的 $(a, b)$，则存在一个点 $c$之间的 $一个$和 $b$这样

$x = x, x = x, x = x, x = x, x = x, x = x。$

注意:这使您能够确定的平均值 $f (x)$的时间间隔 $[a, b]$．这样想: $f (c)$平均身高是多少 $f (x)$，这样你就可以做乘法了 $f (c)$矩形的宽度， $b$，求曲线下的面积。两边同时除以 $b$，我们可以写出平均值 $f (x)$是这样的:

$文本\{平均值}{\大|}_ {f (x)} = \ dfrac {1} {b} \ displaystyle \ int_{一}^ {b} f (x) \, dx。$

给定的函数 $f (x) = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {x} \大(t ^ {3} - 3 t ^ {2} + t + 1大)\ \,dt$的平均值 $f (x)$从 $x = 2$来 $x = 4$．

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我们有

$文本\开始{对齐}\ {avg} | _ {f (x)} & = \压裂{1}{4 - (2)}\ int_ {2} ^ {4} \ int_ {0} ^ {x} \离开(t ^ {3} - 3 t ^ {2} + t + 1 \) \, dt \ \ & = \压裂{1}{6}\ int_{2} ^{4} \离开(\压裂{x ^ {4}} {4} - x ^ 3 + \压裂{x ^ 2} {2} + x \) \, dx \ \ & = \压裂{1}{6}\离开[\压裂{x ^{5}}{20} - \压裂{x ^ 4}{4} + \压裂{x ^ 3}{6} + \压裂{x ^ 2}{2} \右]_{2}^{4}\ \ & = \压裂{9}{5}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

我们可以求出a的长度光滑的曲线 $f (x)$沿一定间隔 $[a, b]。$还记得局部线性和切线逼近吗?如果我们放大一条曲线，最终它开始看起来像一条线。那么，如果我们画一条割线穿过 $\ \大(c、f (c)大)$和 $\ \大(d, f (c)大)$ $\大($在哪里 $c$和 $d$内 $(a, b) \大),$作为 $直流$ $（$我们叫它 $\δx)$趋于0时，割线的长度 $（$让我们表示 $L)$与被截断的那部分曲线的长度相当接近吗 $x = c$和 $x = d ?$另外，如果我们有 $\δx$，那么我们必须有一个 $\δy$,这样 $左(x)^2 +左(y)^2 = L^2$．然后 $L =√{left(x)^2 + left(y)^2}$．我们可以把这些曲线的长度加起来 $l$再加上常规的分区 $\δx$曲线的长度是无限的。因此,我们写

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \ inty} \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{left(x \right)^2 + left(y \right)^2}，$在哪里 $k$是 $n ^ \文本{th}$分区上 $(a, b),$这里有无数个分区 $(a, b)。$

在微积分中，我们喜欢怎么做求和?把它们转换成积分!但我们有黎曼和吗?不。所以我们还不能把它变成积分。为了得到黎曼和，我们需要 $f {k} ^ {*}$，矩形在任何给定分区处的高度，以及 $\δx$，即普通隔板的宽度。但是，我们可以提出因式 $左(x右)^{2}$．所以我们得到

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{left(x \right)^2 \left(1 + frac{left(y \right)^2}{left(x \right)^2} \right)}，$

可以写成

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{1 + left(\frac{Delta y} {Delta x} \right)^2} ~ Delta x。$

然后我们可以写 ${Delta y}{Delta x}$作为 $f ' \离开(间{k} ^{*} \右)$．

为什么我们可以这样做?的导数的中值定理表示在区间上有一个点 $x = c$在 $(a, b)$使得割线的斜率从 $一个$来 $b$= $f (c)$．除了这里，我们替换 $c$与 $间{k} ^ {*}$因为这是常规划分中的某个点我们需要一个黎曼和。

现在，我们有了黎曼和

$n \ rightarrow \ \ displaystyle \ lim_ {infty} \ sum_ {k = 1} ^ {n} \√6{1 +左\ [f ' \离开(间{k} ^{*} \右)正确\]^ 2}~ \δx,$

现在我们有弧长公式：

$\盒装{\ displaystyle \ int_{一}^ {b} \√6{1 +大\ [f (x)大\]^ 2}\,dx}。$

$$要考虑的概念性问题：

• 为什么函数必须是平滑的才能使用弧长公式?
• 我们不是说过吗 $根号{x^2} =左| x右|?$绝对值总是返回正数。那么，我们如何求弧长 $\δx$是负的?
• 我们如何推导出a上某一区间的弧长公式参数曲线？什么条件下的公式是必要的?

曲线的长度是多少 $y = \ sqrt [3] {x}$在 $(8) ?$

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乍一看，你可能会这么说 $y$不顺利，因为 $y '$不存在在 $x = 0$．但是，如果我们让曲线平滑呢?我们可以把这个函数改写成 $x = y ^ 3 ?$如果我们看 $x = y ^ 3$，光滑吗?在某种程度上，是的，因为现在 $\离开了。{dx}{dy} \right|_{y=0} =0$，我们可以开始了，我们可以用 $y$．

我们需要知道 $\压裂{dx} {dy}$,这是 $3 y ^ 2$根据幂次法则，因此公式是

$\ int_{2} ^{2} \√6{1 +左\ [3 y ^ 2 \] ^ {2}} \, dy。$

用计算器计算这个积分，我们可以发现曲线在这个区间上的长度大约是 $17.2607……$． $_ \广场$