确定无弹性碰撞中丢失的动能GydF4y2Ba

一种GydF4y2Ba完美的梭形碰撞GydF4y2Ba是两个物体碰撞粘在一起的物体，成为一个物体。例如，彼此抛出的两个粘性腻子可能会导致完全无弹性的碰撞：两个球粘在一起，并在碰撞后成为一个物体。GydF4y2Ba

与弹性碰撞不同，完美的梭形碰撞没有GydF4y2Ba节约能源GydF4y2Ba，但他们这样做GydF4y2Ba保存势头GydF4y2Ba。虽然系统的总能量总是节约的，而且GydF4y2Ba动能GydF4y2Ba由移动物体携带并不总是保守的。在无弹性碰撞中，能量是GydF4y2Ba丢失的GydF4y2Ba到环境，转移到其他形式，如热。GydF4y2Ba

考虑两个质量粒子GydF4y2Ba $m_ {1}GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $m_ {2}GydF4y2Ba$移动速度GydF4y2Ba $\ vec {v} _ {1}GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $\ vec {v} _ {2}GydF4y2Ba$， 分别。在他们碰撞之前，他们的能量综合GydF4y2Ba $e _ {\ text {init}} = \ frac {1} {2} m_ {1} v_ {1} ^ {2} + \ frac {1} {2} m_ {1} v_ {2} ^ {2}GydF4y2Ba$和一个组合的势头GydF4y2Ba $\ vec {p} _ {\ text {init}} = m_ {1} \ vec {v} _ {1} + m_ {2} \ vec {v} _ {2}GydF4y2Ba$。GydF4y2Ba

由于碰撞是完全无弹性的，碰撞后有一个单一的质量对象GydF4y2Ba $m_ {1} + m_ {2}GydF4y2Ba$。由于势头是节省的，这个目的具有等于总体动量的势头GydF4y2Ba $\ vec {p} =（m_ {1} + m_ {2}）\ vec {v} _ {f}GydF4y2Ba$。组合对象的速度GydF4y2Ba $\ vec {v} _fGydF4y2Ba$然后给出GydF4y2Ba

$\ begin {对齐}（m_ {1} + m_ {2}）\ vec {v} _ {f}＆= m_ {1} \ vec {v} _ {1} \ {1} + m_ {2} \ vec {v}_ {2} \\ \ \ vec {v} _ {f}＆= \ frac {m_1} \ vec {v} _1 + \ frac {m_2}} {m_1 + m_2}} {m_1 + m_2} \ vec {v} _2。\结束{对齐}GydF4y2Ba$

能量取决于平方幅度GydF4y2Ba $\ vec {v} _fGydF4y2Ba$， 哪一个是GydF4y2Ba点产品GydF4y2Ba的GydF4y2Ba $\ vec {v} _fGydF4y2Ba$本身。如果角度之间GydF4y2Ba $\ vec {v} _1GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $\ vec {v} _2GydF4y2Ba$是GydF4y2Ba $\θ.GydF4y2Ba$，那么这等于GydF4y2Ba

$\ |\ vec {v} _f \ | ^ 2 = \ frac {m_1 ^ 2} {（m_1 + m_2）^ 2} v_1 ^ 2 + \ frac {m_2 ^ 2} {（m_1 + m_2）^ 2} v_2 ^ 2+ \ frac {m_1 m_2} {（m_1 + m_2）^ 2} v_1 v_2 \ text {cos} \ theta。GydF4y2Ba$

最终的能量GydF4y2Ba $E_F.GydF4y2Ba$是GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} e_f＆= \ frac {1} {2}（m_1 + m_2）\ |\ vec {v} _f \ | ^ 2 \\＆= \ frac {1} {2} \ left [\ frac {m_1 ^ 2} {（m_1 + m_2）} v_1 ^ 2 + \ frac {m_2 ^ 2}{（m_1 + m_2）} v_2 ^ 2 + 2 \ frac {m_1 m_2} {（m_1 + m_2）} v_1 v_2 \ text {cos} \ theta \ loct]。\结束{对齐}GydF4y2Ba$

该等式是完全无弹性碰撞的通用解决方案。这有点难看，但探索它在特定的简化案例中如何工作可以帮助建立它所说的直觉。GydF4y2Ba

什么是能量差异GydF4y2Ba $\ delta e = e_ f - e_iGydF4y2Ba$如果GydF4y2Ba $M_2.GydF4y2Ba$比...小得多GydF4y2Ba $M_1.GydF4y2Ba$还是物理学家用符号表达这一点GydF4y2Ba $m_2 \ ll m_1GydF4y2Ba$。在这种情况下，GydF4y2Ba $m_1 + m_2 \大约m_1GydF4y2Ba$。这简化了方程式GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} e_f＆= \ frac {1} {2} \ left [\ frac {m_1 ^ 2} {m_1} v_1 ^ 2 + \ frac {m_2} {m_1} v_2 ^ {2} + 2 \ frac{m_1 m_2} {m_1} v_1 v_2 \ text {cos} \ theta \ light] \\＆= \ frac {1} {2} {2}左（m_1 v_1 ^ 2 + 2 m_2 v_1 v_2 \ text {cos} \ theta+ \ frac {m_2} {m_1} m_1 v_2 ^ 2 \右）。\结束{对齐}GydF4y2Ba$

自从GydF4y2Ba $m_2 \ ll m_1GydF4y2Ba$那GydF4y2Ba $\ frac {m_2} {m_1} \ ll 1GydF4y2Ba$，最后一个术语很小，如果另外还要很小GydF4y2Ba $v_2.GydF4y2Ba$小于或不大于GydF4y2Ba $v_1.GydF4y2Ba$。这些组合的假设允许GydF4y2Ba $E_F.GydF4y2Ba$进一步简化到GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} e_f＆= \ frac {1} {2}左（m_1 v_1 ^ 2 + 2 m_2 v_1 v_2 \ text {cos} \ theta \ oled）\\\\ \ delta e＆= e_f - e_i\\＆= m_2 v_1 v_2 \ text {cos} \ theta - \ frac {1} {2} m_2 v_2 ^ 2。\结束{对齐}GydF4y2Ba$

该等方程式对该限制案例给出了很好的解释。第二术语“消除了原始粒子的能量，而第一项”产生“质量粒子GydF4y2Ba $M_2.GydF4y2Ba$速度朝向更大的方向投射GydF4y2Ba $M_1.GydF4y2Ba$，因为它被困在GydF4y2Ba $M_1.GydF4y2Ba$。质量的能量GydF4y2Ba $M_1.GydF4y2Ba$保持不变。GydF4y2Ba

特别注意，这种简化要求较小粒子的速度不是太高。如果是，那么较大的粒子也会使其能量变化，并且GydF4y2Ba