确定非弹性碰撞中的动能损失gydF4y2Ba

一个gydF4y2Ba完全非弹性碰撞gydF4y2Ba是指两个物体碰撞后粘在一起，成为一个物体。例如，两个黏糊糊的腻子球互相扔向对方可能会导致完全非弹性碰撞:两个球粘在一起，碰撞后成为一个物体。gydF4y2Ba

不像弹性碰撞，完全非弹性碰撞不会gydF4y2Ba节约能源gydF4y2Ba，但他们确实如此gydF4y2Ba节省动力gydF4y2Ba。虽然系统的总能量总是守恒的，但是gydF4y2Ba动能gydF4y2Ba运动物体所携带的物体并不总是守恒的。在非弹性碰撞中，能量是gydF4y2Ba失去了gydF4y2Ba传递到环境中，转化为其他形式，如热量。gydF4y2Ba

考虑两个有质量的粒子gydF4y2Ba $m_ {1}gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $m_ {2}gydF4y2Ba$以速度运动gydF4y2Ba $vec {v} _ {1} \gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $vec {v} _ {2} \gydF4y2Ba$,分别。在它们碰撞之前，它们的总能量是gydF4y2Ba $E_{\文本{init}} = \压裂{1}{2}m_ {1} v_{1} ^{2} + \压裂{1}{2}m_ {1} v_ {2} ^ {2}gydF4y2Ba$总的动量是gydF4y2Ba $vec {\ p} _{\文本{init}} = m_ vec {v} _ {1} \ {1} + m_ vec {v} _ {2} \ {2}gydF4y2Ba$。gydF4y2Ba

由于碰撞是完全非弹性的，因此碰撞后会有一个单一的质量组合物体gydF4y2Ba $M_ {1} + M_ {2}gydF4y2Ba$。由于动量守恒，这个物体的动量等于总初始动量gydF4y2Ba $\vec{p} = (m_{1} + m_{2}) \vec{v}_{f}gydF4y2Ba$。组合物体的速度gydF4y2Ba $vec {v} \ _fgydF4y2Ba$然后是gydF4y2Ba

$\{对齐}开始(m_ {1} + m_ {2}) vec {v} _ {f} \ & = m_ vec {v} _ {1} \ {1} + m_ {2} vec {v} _ {2} \ \ \ \ vec {v} _ {f} & = \压裂{1}{1 + m_2} vec {v} _1 + \ \压裂{m_ {2}} {1 + m_2} vec {v} _2 \。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

能量取决于的大小的平方gydF4y2Ba $vec {v} \ _fgydF4y2Ba$，也就是gydF4y2Ba点积gydF4y2Ba的gydF4y2Ba $vec {v} \ _fgydF4y2Ba$与本身。如果两者之间的角度gydF4y2Ba $vec {v} \ _1gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $vec {v} _2 \gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $\θgydF4y2Ba$，那么这个等于gydF4y2Ba

$vec {v} _f \ | \ \ | ^ 2 = \压裂{1 ^ 2}{(1 + m_2) ^ 2} v_1 ^ 2 + \压裂{m_2 ^ 2} {(1 + m_2) ^ 2} v_2 ^ 2 + \压裂{1 m_2} {(1 + m_2) ^ 2} v_1 v_2 \文本{因为}\θ。gydF4y2Ba$

最终能量gydF4y2Ba $E_fgydF4y2Ba$是gydF4y2Ba

$\{对齐}E_f开始& = \压裂{1}{2}(1 + m_2) vec {v} _f \ | \ \ | ^ 2 \ \ & = \压裂{1}{2}\离开[\压裂{1 ^ 2}{(1 + m_2)} v_1 ^ 2 + \压裂{m_2 ^ 2} {(1 + m_2)} v_2 ^ 2 + 2 \压裂{1 m_2} {(1 + m_2)} v_1 v_2 \文本{因为}\θ\右)。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

这个方程是完全非弹性碰撞的通解。它有点丑，但探索它在特定简化情况下的工作原理可以帮助建立对它所说内容的直觉。gydF4y2Ba

能量差是多少gydF4y2Ba $E = E_ f - E_ igydF4y2Ba$如果gydF4y2Ba $m_2gydF4y2Ba$比多少小多少gydF4y2Ba $1gydF4y2Ba$？物理学家用符号表示gydF4y2Ba $M_2 \ll m_1gydF4y2Ba$。在这种情况下，gydF4y2Ba $M_1 + m_2 \近似M_1gydF4y2Ba$。把方程化简成gydF4y2Ba

$\{对齐}E_f开始& = \压裂{1}{2}\离开[\压裂{1 ^ 2}{1}v_1 ^ 2 + \压裂{m_2} {1} v_2 ^{2} + 2 \压裂{1 m_2} {1} v_1 v_2 \文本{因为}\θ\右)\ \ & = \压裂{1}{2}\离开(1 v_1 ^ 2 + 2 m_2 v_1 v_2 \文本{因为}\θ+ \压裂{m_2} {1} 1 v_2 ^ 2 \右)。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

自gydF4y2Ba $M_2 \ll m_1gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $\frac{m_2}{m_1} \llgydF4y2Ba$最后一项在加法中很小gydF4y2Ba $v_2gydF4y2Ba$是小于还是不大于多少gydF4y2Ba $v_1gydF4y2Ba$。这些综合假设允许gydF4y2Ba $E_fgydF4y2Ba$进一步简化为gydF4y2Ba

$\{对齐}E_f开始& = \压裂{1}{2}\离开(1 v_1 ^ 2 + 2 m_2 v_1 v_2 \文本{因为}\θ\)\ \ \ \ \δE & = E_f - E_i \ \ & = m_2 v_1 v_2 \文本{因为}\θ- \压裂{1}{2}m_2 v_2 ^ 2。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

这个方程对极限情况给出了很好的解释。第二项“消除”了原始粒子的能量，而第一项“创造”了一个有质量的粒子gydF4y2Ba $m_2gydF4y2Ba$速度向质量更大的方向投射gydF4y2Ba $1gydF4y2Ba$，因为它被粘住了gydF4y2Ba $1gydF4y2Ba$。质量的能量gydF4y2Ba $1gydF4y2Ba$是不变的。gydF4y2Ba

要特别注意，这种简化要求较小的粒子的速度不要太高。如果是的话，那么较大的粒子的能量也会发生变化gydF4y2Ba