阻尼振荡器-解决问题

阻尼谐振子的方程可以模拟物体在沉浸于流体时的振动，也可以模拟更抽象的系统，其中的量在振动时损失能量。阻尼谐振子是许多物理系统的一个很好的模型，因为大多数系统都服从胡克定律当它们在一个平衡点周围受到扰动时，它们也会在衰减到平衡状态时失去能量。这两个条件是满足阻尼谐振子运动方程的充分条件。

证明电感、电容和电阻串联的电路符合阻尼谐振子方程。

一种串联RLC电路，其中电阻耗散能量，而电容和电感两端的电压振荡[2]。

---

解决方案:

根据基尔霍夫定律，则闭环中的电压之和必须为零。与上面的图不同，我们假设电容器已经充电，并且没有外部电压源连接到电路上。每个电阻上的电压 $R$)、电容(电容 $C$)和电感(电感 $l$)取决于收费 $问$在电容器和电流上 $我$在电路中，在哪里 $我= - \压裂{dQ} {dt}$如果电容器正在放电:

$\{对齐}开始V_R & =红外\ \ V_C & = - q L / C \ \ V_I & = \压裂{dI} {dt} \{对齐}结束$

注意电容器两端的电压与常规电流的流动相反。如果电压之和为零， $I = -\frac{dQ}{dt} = \dot{Q}$要求:

$L\ddot{Q} + R \dot{Q} + frac{1}{C} Q = 0。$

电容器上电荷的时间依赖性就像一个阻尼谐振子。这应该是预期的:LC电路是振荡的，从电阻的能量耗散与电流成比例，作为一个阻尼源。

在柔性Zylon柄[3]上振荡的融合靶的解剖。

在惯性约束聚变在美国，强大的紫外线激光对准一个包含氢同位素的小胶囊，迅速压缩氢以诱导聚变。氢聚变靶被安装在由高度灵活的合成聚合物Zylon制成的杆上。尽管这种灵活性可以防止目标折断柄，但它也允许激光击中聚变目标时发生阻尼振荡。振荡使目标的质心发生位移，降低了激光的效率，降低了聚变的机会;因此，我们非常希望(1)达到较高的振动基频，因为这些是不容易激发的;(2)接近临界阻尼，以迅速降低振荡振幅[3]。

(a)氢聚变靶的大部分重量都在塑料的质量中(近似密度) $\rho = 1000 \text{kg}/\text{m}^3$)，其中含有氢，它大致形成一个球体 $10 ^{4} \文本{m}$直径。的 $1 / e$目标被激发后的衰减时间约为半秒。假设目标基频约为，估计Zylon杆的弹簧常数和阻尼常数 $1000 \文本{赫兹}$．

(b)给定前面发现的弹簧常数和阻尼常数，达到临界阻尼所需要的目标质量是多少?

---

解决方案:

(a)首先根据球的体积和塑料的密度计算融合目标的质量: $m = \ρV =(1000 \文本{公斤}/ \文本{m} ^ 3) (\ frac43 \π(\压裂{10 ^{4}\文本{m}}{2}) ^ 3) = 5.24 \ * 10 ^{-10}{公斤}\文本$

的 $1 / e$衰减时间是 $\τ= \压裂{2 m} {b}$．由此得到阻尼常数:

$b = \压裂{2 m}{\τ}= \压裂{2(5.24 \ * 10 ^{-10}\文本{公斤})}{。5 \文本{年代}}= 2.10 \ * 10 ^{9}\文本{公斤}/{年代}\文本。$

弹簧常数可由(角频率)公式求出:

$大概{\ω= \ \压裂{k} {m} - \压裂{b ^ 2} {4 m ^ 2}} = \√6{\压裂{k} {m} - \压裂{1}{\τ^ 2}}。$

重新排列，弹簧常数为: $K = m \left(^2 + frac{1}{^2} \right)$

代入所有的量，记住 $(1) (1000 \text{Hz})$时，计算弹簧常数:

$K = 2.07 \乘以10^{-2}\text{kg}/\text{s}^2。$

(b)将频率设为零 $b$和 $米$固定产生的质量方程:

$公里——\压裂{b ^ 2}{4} = 0 \意味着m = \压裂{b ^ 2} {4 k}$

用的 $b$和 $公斤ydF4y2Ba$收益质量:

$M = 5.33 \乘以10^{-17}\text{kg}。$

在这个计算中使用的数字是非常粗略的，但有一个物理性质是清楚的，那就是它不可能同时达到临界阻尼和高基频。与高基频所需的质量相比，临界阻尼需要一个本质上无质量的聚变目标。在惯性约束聚变中，平衡低基频大激励下的欠阻尼效应是一项艰巨的工程挑战。

汽车悬架系统中的减震器可以降低底盘的振动。理想情况下，为了使乘坐尽可能平稳，底盘的振动将被严格地抑制。假设一辆车撞上了减速带底盘被 $1 \文本{厘米}$．如果减震器严重地抑制了由此产生的振动，汽车就会重 $1000 \文本{公斤}$，阻尼常数为 $B =20000 \text{kg}/\text{s}$，找到底盘随时间的位移。

---

解决方案:

临界阻尼的一般解为: $y(t) = (A+Bt) e^{-\frac{b}{2m} t}。$使用初始条件: $Y (0) = 0 \text{cm}$， ${y} \点(0)= 0$收益率:

$\开始{对齐}& = 0.1 \文本{厘米}\ \ B & = \压裂{英航}{2 m} = 1.0 \文本{厘米}/{年代}\ \文本结束{对齐}$

下面，解的单位是 $文本\{厘米}$随着时间的推移,在 $年代$：减震器能在几分之一秒内有效地降低汽车的振动。