连分数

连分数有记载的最早的研究之一是公元前300年左右欧几里得的研究(在他的书中元素)当他用它们来寻找两个整数的最大公约数时（使用今天所知的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/euclidean-algorithm/" class="wiki_link" title="欧几里德算法" target="_blank">欧几里德算法)．

从那时起,持续的分数已经出现在许多其他领域，包括但不限于，

• 实数的有理逼近
• 解决<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/linear-diophantine-equations-one-equation/" class="wiki_link" title="线性丢番图方程" target="_blank">线性丢番图方程
• 解决<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/quadratic-diophantine-equations-pells-equation/" class="wiki_link" title="佩尔方程" target="_blank">佩尔方程
• 近似<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/pi/" class="wiki_link" title="" target="_blank"> $\π$．

有两种类型持续的分数：

• 有限的持续的分数
• 无限持续分数。

一个有限连分式是实数的一般表示吗 $x$在表单中

$a{0}+\cfrac{b{1}}{a{1}+\cfrac{b{2}}{a{2+\cfrac{b{3}{a{3}+\cfrac{b{4}}{\ddots+\frac{b{b}{a}n}，$

哪里 $现代现代{0},{1},\ ldots$和 $b{1}，b{2}，\ldots$是整数和 $n\geq 1$．

一个无穷连分式是实数的一般表示吗 $x$在表单中

$a{0}+\cfrac{b{1}}{a{1}+\cfrac{b{2}{a{2+\cfrac{b{3}}{a{3}+\cfrac{b{4}+\ddots}，$

哪里 $现代现代{0},{1},\ ldots$和 $b{1}，b{2}，\ldots$都是整数。

实数的无限连分数表示在某些方面类似于它的小数展开式。例如，方程 $\ frac2 {11} = 0.181818 \ ldots$表示截断小数的序列 $0.1, 0.18, 0.181， \ldots$是收敛的到 $\ frac2{11}。$同理，无穷连分数

$现代{0}+ \ cfrac {b_{1}}{现代{1}+ \ cfrac {b_ {2}} {a₂+ \ cfrac {b_{3}}{现代{3}+ \ cfrac {b_{4}}{现代{4}+ \ ddots}}}}$

只是截断连分数序列的极限（如果存在）

$a_0 \ \ a_0 + \ cfrac {b_1} {a_1}, \ \ a_0 + \ cfrac {b_1} {a_1 + \ cfrac {b_2} {a₂}},\ \ a_0 + \ cfrac {b_1} {a_1 + \ cfrac {b_2} {a₂+ \ cfrac {b_3} {a_3}}}, \ \ \ ldots。$

当 $ai$和 $b_j$这些被截断的连分式都是整数吗<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/rational-numbers/" class="wiki_link" title="有理数" target="_blank">有理数，就像截断的十进制展开一样。

连分式有许多与有理逼近有关的美丽性质，有许多应用，包括解<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/quadratic-diophantine-equations-pells-equation/" class="wiki_link" title="佩尔方程" target="_blank">佩尔方程．

上图中,持续的分数由两组整数定义 $an$和 $b_n$．

现在，如果我们 $b_n = 1$ $\原则$ $n$，则称为单连分数．

一个无限单连分式实数的表示 $x$形式是

$\ \大型现代{0}+压裂{1}{现代+ \压裂{1}{1}{a₂+ \压裂{1}{现代{3}+ \ ddots}}},$

哪里 $a_0$是整数，并且 $a_1，a_2，\ldots$是正整数。通常通过以下方式更紧凑地编写：

$现代{0}+ \压裂{1}{现代{1}+}\压裂{1}{现代{2}+}\压裂{1}{现代{3}+}\ cdots =[现代{0};现代{1},现代{2},现代,{3}\ ldots]。$

同样,一个有限单连分式实数的表示 $x$形式是

$\ \大型现代{0}+压裂{1}{现代+ \压裂{1}{1}{a₂+ \压裂{1}{\ ddots + \压裂{1}{an}}}},$

如上所述，有限简单连分数是有理数。反之亦然，即任何有理数 $\压裂mn$可以通过<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/euclidean-algorithm/" class="wiki_link" title="欧几里德算法" target="_blank">欧几里德算法：如果 $m = nq + r,$然后 $\frac{m}{n}=q+\frac{r}{n}=q+\small{\dfrac{1}{\frac nr}}，$这一过程通过分裂继续进行 $n$通过 $R$这里是一个说明性的例子。

减少 $-\分形{551}{802}$变成一个简单的连分数。

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首先，写下除法的欧几里得算法 $-551$通过 $802:$

$\begin{aligned} -551 &= 802(-1) + 251 \\ 802 &= 251 \\ cdot 3 + 49 \\ 251 &= 49 \cdot 5 + 6 \\ 49 &= 6 \cdot 8 + 1 \\ 6 &= 1 \cdot 6 + 0。结束\{对齐}$

用这个，我们有

${对齐}- \ \开始dfrac {551} {802} = 1 + \ dfrac {251} {802} & = 1 + \ dfrac {1} {\ dfrac {802} {251 }} \\\\ &= - 1 + \ dfrac {1} {3 + \ dfrac {49} {251}} = 1 + \ dfrac {1} {3 + \ dfrac {1} {\ dfrac {251} {49 }}} \\\\ &= - 1 + \ dfrac {1} {3 + \ dfrac {1} {5 + \ dfrac {6} {49}}} = 1 + \ dfrac {1} {3 + \ dfrac {1} {5 + \ dfrac {1} {\ dfrac {49} {6 }}}} \\\\ &= - 1 +\ dfrac {1} {3 + \ dfrac {1} {5 + \ dfrac {1} {8 + \ dfrac {1} {6}}}} = 1 + \ dfrac {1} {3 +} \ dfrac {1} {5 +} \ dfrac {1} {8 +} \ dfrac{1}{6}。结束\{对齐}$

请注意，计算结果可以从欧几里得算法的商数中读出:

$-\dfrac{551}{802}=[-1；3,5,8,6]。\\平方$

假设 $1 + \压裂{1}{1 + \压裂{1}{1 + \压裂{1}{1 + \ ddots}}} = [1, 1, 1, 1, \ ldots]$等于某个实数，求出这个数。

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写 $k = [1, 1, 1, 1, \ ldots]。$然后

$\开始{aligned}k&=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots}}&\\k&=1+\frac{1}{k}&\\k^{2}-k-1&=0\结束{对齐}$

所以 $k = \ dfrac{1 \ \下午√{5}},$但显然 $k > 1,$所以 $k$是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/golden-ratio/" class="wiki_link" title="黄金比例" target="_blank">黄金比例 $\frac{1+\sqrt{5}{2}$．

下面是另一个例子：

假设它存在，求它的值

$1 + \压裂{1}{1 + \压裂{1}{2 + \压裂{1}{1 + \压裂{1}{2 + \ ddots}}}} =[1; 1、2、1、2、\ ldots]。$

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我们有

$\{对齐}开始k & = 1 + \ frac1 {1 + \ frac1 {2 + (k - 1)}} \ \ k - 1 & = \压裂{k + 1} {k + 2} \ \ k ^ 2 + k-2 & = k + 1 \ \ k ^ 2 & = 3,结束\{对齐}$

所以 $k = \ sqrt {3}$因为它是正的。

与有理数一样，这个过程可以逆转。

写 $\ sqrt {7}$作为一个简单连分数。

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其思想是迭代取最大整数并往复的过程，如下所示:

$\开始{对齐}\ sqrt{7} & = 2 +大概{7}2)(\ \ \ \ frac1 {\ sqrt{7} 2} & = \压裂{\ sqrt{7} + 2} 3 = 1 + \压裂{\ sqrt {7} 1} 3 \ \ \ frac3 {\ sqrt{7} 1} & = \压裂{\ sqrt{7} + 1} 2 = 1 + \压裂\ sqrt {7} {1} 2 \ \ \ frac2 {\ sqrt{7} 1} & = \压裂{\ sqrt{7} + 1} 3 = 1 + \压裂{\ sqrt {7} 2} 3 \ \ \ frac3 {\ sqrt {7} 2} & = \ sqrt{7} + 2 = 4 + \√{7}2),结束\{对齐}$

这个过程重复着。

这就得到了连分数

$\sqrt{7}=2+\frac1{1+\frac1{1+\frac1{1+\frac1{4+\ddots}}}=[2；1,1,1,1,4,1,1,1,4,ldots]=\left[2；{\overline{1,1,1,4}\right].\\$

这些例子证明了下面关于周期连分式的定理。

允许 $r$假设你是一个实数 $r=[a_0；a_1，a_2，\ldots]$是无限的简单连分数展开式吗 $R$在哪里 $ai$是整数, $a_1，a_2，\ldots$是的，然后是 $ai$是周期性的（也就是说，有一个正整数 $k$以致 $现代{n + k} = an$足够大的 $n$)当且仅当 $r$是具有整数系数的二次多项式的根。

这给出了实数与周期简单连分式展开的完整描述。在特殊情况下 $r = \ sqrt {D},$展开式有许多其他特殊和有用的性质，与Pell方程的解有关 $x ^ 2-Dy ^ 2 = 1;$见<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/quadratic-diophantine-equations-pells-equation/" class="wiki_link" title="佩尔方程" target="_blank">佩尔方程wiki的细节。

本节概述简单连分式的一些有用的一般性质，重点讨论有理逼近:无理数与有理数的“最佳”近似是什么?

允许 $r$做一个真实的数字。如果 $r$是否有理性，是否有唯一的序列 $a_1, a_0 \ ldots a_k$的整数, $a\u 1、\ldots、a\u k$积极和 $a_k \ 1,$以致 $r=[a_0；a_1，\ldots，a_k]。$否则，如果 $r$是无理的，有一个唯一的无限序列 $a_1, a_0 \ ldots$的整数, $a_1，a_2，\ldots$积极的,这样 $r = [a_0; a_1, \ ldots]。$这个等式表示截短的连分数序列收敛于 $R$

允许 $P_k$和 $Q_k$由下列递归公式给出:

$\{对齐}开始P_ {1} = 1, \ P_0 = a_0 \ P_k & = a_k P_ {k - 1} + P_ {k-2} \四(k \通用电气1)\ \ \ \ Q_ {1} = 0, \ Q_0 = 1, \ Q_k & = a_k Q_ {k - 1} + Q_ {k-2} \四(k \通用电气1)。\{对齐}结束$

然后 $\压裂{P_k} {Q_k}$等于 $k^\text{th}$截断连分数 $[a_0;a_1, \ ldots a_k]。$

的分数 $\压裂{P_k} {Q_k}$被称为“的收敛到无理数 $R$

找出黄金分割的收敛性 $\frac{1+\sqrt{5}}2。$

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在这种情况下，因为连分式是 $[1；1,1，\ldots]，$递归公式是 $P_k=P_{k-1}+P_{k-2}，$和类似的 $Q_k。$所以收敛性的分子和分母是斐波那契数列的连续项

$\左\{\压裂{P_k} {Q_k} \右\}_ {k = 0} ^ {\ infty} = \左\ {\ frac11 \ frac21 \ frac32 \ frac53 \ frac85 \压裂{13}8 \ ldots \右\}。$

定理说这些分数收敛于黄金比例。 $_\方格$

连续分数 $\π$开始 $[3；7,15,1292，\ldots]。$查找到的前四个收敛点 $\π。$

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应用这些公式，我们得到 $\ frac31 \压裂{22}7 \压裂{333}{106},\压裂{355}{113}。$第二个应该看起来有点像<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/why-pi-is-not-equal-to-frac227/" class="wiki_link" title="熟悉" target="_blank">熟悉，而第四个收敛性不太为人所知，但却是一个非常好的近似 $\π$： $\frac{355}{113}=3.14159292\ldots。$注意它小于 $\dfrac1{1000000}$从 $\π,$即使它的分母只是 $113.$

这背后的直觉是 $a_4=292$特别大，第四收敛点和第五收敛点之间的差异特别小，因为它对应于加法 $\分形{1}{292}$到第四个集合的最底部分母。

中国的数学家们知道并使用了这种近似 $5 ^ \文本{th}$公元世纪。 $_\方格$

下一节将详细介绍上一个示例中的思想，给出收敛和近似的一些一般性质。

允许 $r$为无理数，设 $\压裂{P_k} {Q_k}$成为它的汇合点。然后

• $\压裂{P_k} {Q_k}$和 $\压裂{P_ {k + 1}} {Q_ {k + 1}}$是对立的吗 $r$；会聚物在左侧和右侧“来回弹跳” $r$在号码线上。

• $左| \ \压裂{P_ {k + 1}} {Q_ {k + 1}} - r \右左| | < \ \压裂{P_k} {Q_k} - r \ |。$

• $\左| \frac{P{k+1}{Q{k+1}-\frac{P{k}{Q{k}\right}=\frac1{Q{k+1}。$请注意，此等式的左侧正好是前面不等式中两个量的总和。

• 任何一对连续的收敛点 $\压裂{P_k} {Q_k}$和 $\frac{P{k+1}}{Q{k+1}}，$至少有一个满足不等式 $左| \frac{P}{Q}-r \右| < \ dfra1 {2Q^2}。$ $\大($注意，前面的不等式意味着它们都满足 $左| \ \压裂{P} {Q} - \α\右| < \ frac1{问^ 2}\大)。$

• 如果 $左| \ \压裂{P} {Q} - r \右| < \ frac1{2问^ 2},$然后 $\分形{P}{Q}$一定是收敛的。

• 如果 $左| \ \压裂{P} {Q} - r \右| <左| \ \压裂{P_k} {Q_k} - r \ |,$然后 $问> Q_k。$也就是说，收敛性是“最佳”逼近 $r$在这个意义上，没有其他分母更小的有理数可以接近 $R$（请注意，在这种意义上，并非所有最佳近似都是收敛的，但所有收敛都是最佳近似。）

• 如果 $\压裂PQ$具有 $| P-Qr |$比 $|P'-Q'r|$对于任何 $问' < Q,$然后 $\压裂PQ$必须是收敛的；相反地，所有的收敛都有这个性质。（所以在最佳近似的另一种意义上，收敛就是最佳近似。）

这个定理给出了一个全面的图像的特殊性质的收敛和他们在给出有效的逼近实数的用途。

还有其他的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/nested-functions/" class="wiki_link" title="递归表达式" target="_blank">递归表达式类似于在应用中偶尔有用的连分数。

一般连分数的一个应用是平方根的替代近似，使用以下恒等式：

证明 $\ sqrt {n} = 1 + \压裂{n}{2 + \压裂{n}{2 + \压裂{n} {2 + \ ddots}}}。$

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开始 $大概{n} + n = \ \ sqrt {n} + n + 1 - 1。$lh:因素 $\ sqrt {n} (1 + \ sqrt {n}) = 1 + \ sqrt {n} + n - 1。$两边除以 $1 + \√{n}:$ $\sqrt{n}=1+\frac{n-1}{1+\sqrt{n}}。$代替 $\ sqrt {n}$在与RHS的分数中: $\ sqrt {n} = 1 + \压裂{n}{2 + \压裂{n} {2 + \ ddots}},$这个过程可以无限地继续下去。 $_\方格$

截断这些连分式得到一个收敛于的数列 $\sqrt{n}，$它的收敛速度可能不如简单连分式快，但它的优点是不需要计算就可以写出一般连分式。

给的公式 $\sqrt{5}=1+\frac4{2+\frac4{2+\frac4{2+\ddots}}，$截短连分式 $1 \ \ 1 + \ frac42 \ \ 1 + \ frac4 {2 + \ frac42} \ \ 1 + \ frac4 {2 + \ frac4 {2 + \ frac42}}, \ \ \ ldots$给出一个序列 $1，\ 3，\ 2，\ fr73，\ ldots$这与 $\ sqrt{5}。$注意，它似乎比收敛到简单连分式的序列慢得多 $大概{5}= \ [2;4、4 \ ldots),$这是 $2 \ \ frac94 \ \压裂{38},{17}\ \压裂{161}{72},\ \ ldots。$