圈

一个圆是一个圆形的平面图形，其边界(称为周长)与其中心等距。它是现代科学研究的一个基本对象几何．

为了描述物体的形状，我们给物体适当的尺寸。例如，一个矩形可以用它的高度和宽度来描述。

矩形

描述三角形的形状比较困难，因为我们需要三条边的所有长度( $a、b$而且 $c$）.

三角形

对于圆来说，要简单得多，因为我们只需要它的半径或直径来描述它的几何形状。

圆

那么，圆的半径和直径是多少?它们的概念在圆形几何中非常重要，让我们回顾一下术语。

的半径圆的长度是从圆心到圆周上任何一点的距离。 $_ \广场$

的直径圆的长度是指从圆上的一点开始，穿过圆心，到圆对面另一点结束的直线的长度。它也被称为圆中最长的和弦。

半径 $r$和直径 $d$是相互关联的

$d = 2 r。$

圆的周长公式是

$\ d = 2 \pi r，$

在哪里 $D =\text{(圆的直径)}，$ $R =\text{(圆的半径)}，$而且 $\π$是数学常数"π．"

第一个 $10$数字的 $\π$是 $3.14159265……$，但任何有限的数字列表只能是的近似值 $\π$．此外, $\π$，(写为“pi”，读为“pie”)是一个无理数．(这意味着它不能可以用整数的任何比例来描述， $\压裂{一}{b}$．）

要了解更多关于这个常数的信息， $\π$，浏览 $\π$wiki页面．

的区域一个有半径的圆 $r$是 $\πr ^ 2$． $_ \广场$

然后重新排列成一个弯曲的平行四边形。

观察平行四边形的面积为 $黑洞。$那么重新排列的圆的“底”是周长的一半，等于 $\πr,$“高”等于半径本身。

因此，圆的面积等于

$A = (\pi r)(r) = \pi r^{2}。$

圆的面积是多少 $啊,$如果圆 $O$半径为 $12 ?$

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半径:有半径的圆的面积 $r = 12$是 $\ π r^2=\ π * 12^2 = 144 \ π。\ _ \广场$

圆的面积是多少 $啊,$如果圆 $O$直径为 $16 ?$

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圆的半径是 $8$．因此，面积是 $\π\ times8 ^ 2 = 64 \π。\ _ \广场$

圆的面积是多少 $啊,$如果圆 $O$周长为 $36 \π吗?$

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有半径的圆的周长 $r$是 $2 \πr。$对于这个问题, $2\pi r = 36 \pi，$所以 $r = 18。$因此，圆的面积为 $\ π r^2=\ π * 18^2 = 324 \ π。\ _ \广场$

圆的一半叫做半圆。半圆的面积是多少 $D,$如果整个圆 $O$半径为 $10 ?$

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半径为圆的面积 $r = 10$是 $\ π r^2=\ π * 10^2 = 100 \ π。$因此，半圆的面积为 $\frac{1}{2} \乘以100 \pi = 50\pi。\ _ \广场$

圆的一半叫做半圆。半圆的面积是多少 $D,$如果整个圆 $O$直径为 $14 ?$

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有直径的圆的面积 $d = 14$是 $左(\ \π\压裂{d}{2} \右)^ 2 =π\ \ * 7 ^ 2 = 49 \π。$因此，半圆的面积为 $\frac{1}{2} \times 49\pi = \frac{49}{2}\pi。\ _ \广场$

圆的一半叫做半圆。半圆的面积是多少 $D,$如果 $D$周长为 $2 \π+ 4 ?$

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半圆的周长是圆的直径和周长的一半。如果圆的半径是 $r,$这个半圆的周长是 $2r +\ frac{1}{2}(2\pi r) = 2r +\pi r = 4 + 2\pi，$所以 $r = 2。$

因此，半圆的面积与半径 $r = 2$是 $\frac{1}{2} \ * \pi r^2 = 2\pi。\ _ \广场$

圆的弧长是其弯曲部分的长度。一个圆的弧长是它的周长，那么扇区(圆的片段)的弧长是多少呢?它们是由公式计算出来的 $S = r \θ,$在哪里 $年代$是弧长， $r$圆的半径，和 $\θ$是扇形的角度。

注意:角度应以弧度为单位。

一个中央角圆的角是一个角，它的顶点是圆心，两条边是圆的半径。

例如，在上图中， $\角AOB$是圆心角吗 $\ stackrel \皱眉{AB}$．如果 $\角AOB = 60^\circ，$我们称之为 $60 \ stackrel \皱眉{AB} = ^ \保监会$．

• 两条相等的弧由两个相等的圆心角构成。

• 在两条弧线中，较长的弧线由较大的圆心角构成。

• 如果圆心角是 $180 ^ \保监会= \π$，这个角形成的弧是周长的一半。如果圆心角是 $360 ^ \保监会= 2 \π$，这个角形成的弧就是整个周长。 $_ \广场$

一个圆周角是一个角，它的顶点是圆周长上的一点，它的边是经过顶点的圆的弦。

在图中, $ACB \角$而且 $亚洲开发银行\角$两个圆周角都是圆弧吗 $\ stackrel \皱眉{AB}$．

• 圆周角的大小是构成同一圆弧的圆心角大小的一半。

• 构成同一圆弧或构成两个相等圆弧的两个圆周角相等。

• 如果两个圆周角相等，它们形成的圆弧也相等。

• 在两个圆周角中，较大的圆周角构成较长的圆弧。 $_ \广场$

平行一个gleBisector

上图显示了一个有两条弦相交的圆。两个和弦分别在交点处被切成两段。一个和弦被切成两个长度相等的线段 $一个$而且 $b,$另一部分分成两段，每一段的长度 $c$而且 $d。$

的相交弦定理说明上图中的两个和弦满足 $A \乘以b=c \乘以d。$因此, $a \ b$总是等于 $c \ * d$不管两个和弦在圆内的什么地方相交。

找到…的价值 $x$如下图所示。

平行一个gleBisector

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根据交叉弦定理，我们有 $\begin{aligned} 3 \times x &= 4 \times 6 \\ x &= 8。\ \ _ \广场结束{对齐}$

找到…的价值 $x$如下图所示。

平行一个gleBisector

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根据交叉弦定理 $\begin{aligned} 10 \times (x+4) &= 15 \times (x+1) \\ 10x+40 &= 15x+15 \\ 5x &= 25 \\ x &= 5。\ \ _ \广场结束{对齐}$

下图中部分线段的长度为

$$ $\lvert \overline{AC} \rvert= 2， \lvert \overline{CD} \rvert= 3， \lvert \overline{DE} \rvert= 6。$ $$

如果 $\lvert \overline{CE} \rvert = 3\cdot \lvert \overline{AC} \rvert，$然后是什么 $\lvert \overline{AB} \rvert ?$

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自 $\lvert \overline{CE} \rvert = 3\cdot \lvert \overline{AC} \rvert，$我们有 $\begin{aligned} \lvert \overline {CE} \rvert &= 3 \times \lvert \overline {AC} \rvert \\ &= 3 \times 2 \\ &= 6。结束\{对齐}$

根据交弦定理，我们有 $\begin{aligned} \lvert \overline{AC} \rvert \times \lvert \overline{CE} \rvert &= \lvert \overline{CD} \rvert \times \lvert \overline{BC} \rvert \\ 2 \times 6 &= 3 \times \lvert \overline{BC} \rvert \\ lvert \overline{BC} \rvert \\ lvert \overline{BC} \rvert \\ lvert \overline{BC} \rvert \\ lvert \overline{BC} \rvert \\结束\{对齐}$

现在观察到 $ACB = \ \角角度DCE,$而且 $\begin{aligned} \lvert \overline {AC} \rvert: \lvert \overline {CD} \rvert &= 2,3 \\ \lvert \overline {BC} \rvert: \lvert \overline {CE} \rvert &= 4,6 = 2,3， \end{aligned}$这意味着三角形 $ACB \三角形$而且 $DCE \三角形$SAS相似度为2:3。

因此，如果我们让 $x= \lvert \overline {AB} \rvert，$然后 $\begin{aligned} x: \lvert \overline {DE} \rvert &= 2,3 \\ x: 6 &= 2,3 \\ x &= \frac{12}{3} = 4。结束\{对齐}$

因此, $\lvert \overline{AB} \rvert =4。\ _ \广场$

在下图中， $\眉题{AB}$半径为4的圆的弦的圆心是否在 $O。$如果线段 $\眉题{OC}$而且 $\眉题{AB}$彼此平分，长度是多少 $\眉题{AB} ?$

$$平行一个gleBisector

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平行一个gleBisector

让 $D$的延伸点在圆上 $\眉题{有限公司}$经过。然后，由于圆的半径是4两条弦互相平分，的长度 $\眉题{厘米}$而且 $\眉题{DM}$是 $\begin{aligned} \lvert \overline {CM} \rvert &= 4 \times \frac{1}{2} = 2 \\ \lvert \overline {DM} \rvert &= 4 + 2 = 6。结束\{对齐}$

根据交弦定理 $\begin{aligned} \lvert \overline{AM} \rvert \times \lvert \overline{BM} \rvert &= \lvert \overline{CM} \rvert \times \lvert \overline{DM} \rvert \times \lvert \overline{BM} \rvert &= 2 \times 6 = 12。结束\{对齐}$

自 $\lvert \overline{AM} \rvert=\lvert \overline{BM} \rvert，$我们知道 $\begin{aligned} \lvert \overline{AM} \rvert \times \lvert \overline{BM} \rvert &=12 \\ \lvert \overline{AM} \rvert ^2&=12 \\ \lvert \overline{AM} \rvert &= 2\sqrt{3}。结束\{对齐}$

因此，我们的答案是 $\lvert \overline{AB} \rvert = 2\ cdot \lvert \overline{AM} \rvert = 2\ cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}。\ _ \广场$

一个圆部门是一个由圆的两个半径和圆的圆弧所包围的封闭图形。角的扇形 $\θ$和半径 $r$如图所示。

$\水平间距{5厘米}$部门在圆

如果这个角 $\θ$单位是度，那么扇形的面积是 $\ dfrac{\θ}{360 ^{\保监会}}$圆的。因为圆的面积是 $\πr ^ 2$，扇区面积为

$\dfrac{\theta}{360^{\circ}} \乘以\pi r^2。$

如果 $\θ$单位是弧度，那么扇形的面积是 $\ dfrac{\θ}{2 \π}$所以扇形的面积是

$\ dfrac{\θ}{2π\}\ * \πr ^ 2 = \ dfrac {1} {2} r ^ 2 \θ。$

扇区有半径 $12 \文本{厘米}$和角度 $60 ^ \保监会$．找到它的面积。

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$文本\开始{对齐}\{(地区)}& = \压裂{60 ^ \保监会}{360 ^ \保监会}\ \π\乘以12 ^ 2 \ \ & = \压裂{π\乘以144}{6}\ \ & \ approx75.4 \ \离开文本(\{厘米}^ 2 \右)。\;_ \广场\{对齐}结束$

扇区有面积 $10 \π\文本{mm} ^ 2$和角度 $\ dfrac{\π}{5}$．找到它的半径。

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我们有 $文本\开始{对齐}\{(地区)}& = \压裂{1}{2}10 r ^ 2θ\ \ \ \π& = \ dfrac {1} {2} r ^ 2 \ \ dfrac{\π}{5}\ \ r ^ 2 & = 100 \ \离开文本(\ {mm} ^ 2 \右)。结束\{对齐}$

因此, $R = 10 \text{mm}$． $_ \广场$

以下是我们对上图的了解:

• $德$大圆的直径是否等于半径 $R,$所以 $德= 2 r。$
• 这两个中等大小的圆半径相等 $r$它们都相切 $德$再到大圆圈。
• 这个小圆有半径 $一个$与其他三个圆相切。

现在，我们该如何表达 $一个$而言, $R ?$

请注意, $AB = R - a$而且 $r r = \压裂{}2。$然后在三角形 $美国广播公司、$我们有

$\{对齐}开始(+ r) ^ 2 & = r ^ 2 + (r - a) ^ 2 \ \ (+ r) ^ 2 & = r ^ 2 + (2 r - a) ^ 2 \ \ \不是{^ 2}+ \ {r ^ 2} + 2 ar & = \不是{r ^ 2} + 4 r ^ 2 + \不是{^ 2}- 4基于“增大化现实”技术\ \ 4 r ^{\不是{2}}& = 6 \不是{r} \ \ \ Rightarrow & = \压裂{4}{6}r = \压裂{2}{3}\ cdot \压裂{r} 2 = \压裂{r}{3}。结束\{对齐}$

假设我们现在有一个更小的圆的切线 $德,$大圆和上面的中等圆，如下图所示。你能证明这个新圆的半径是 $R \压裂{}4 ?$