圈子

A.圆圈是一个圆形平面图形，其边界（称为圆周）与其中心等距。它是本课程研究的基本对象几何学．

为了描述物体的形状，我们给物体适当的尺寸。例如，一个矩形可以用它的高度和宽度来描述。

长方形

很难描述三角形的形状，因为我们需要三条边的所有长度( $a、 b$和 $C$).

三角形

对于圆来说，这要容易得多，因为我们只需要它的半径或直径来描述它的几何形状。

圆圈

那么，圆的半径和直径是什么？它们的概念在圆形几何中非常重要，所以让我们回顾一下术语。

这个半径圆的半径是从圆心到圆周上任何一点的距离。 $_\方格$

这个直径从圆的一点开始，经过圆心，并在圆的另一边的另一点结束的直线的长度。它也被称为圆中最长的弦。

半径 $R$和直径 $D$是相互关联的

$d = 2 r。$

圆的周长公式是

$\pi d=2\pi r，$

哪里 $d=\text{（圆的直径）}，$ $r=\text{（圆的半径）}，$和 $\π$是数学常数，”圆周率."

第一 $10$数字的 $\π$是 $3.14159265...$，但任何有限的数字列表都只能是的近似值 $\π$此外 $\π$，（写“pi”，读作“pie”），是无理数. （意思是不能可以用任意比例的整数来描述， $\压裂{一}{b}$.)

有关常数的详细信息， $\π$，查看 $\π$维基页面．

这个地区圆的半径 $R$是 $\πr ^ 2$． $_\方格$

然后重新排列成一个弯曲的平行四边形。

观察平行四边形的面积是否为 $波黑。$然后，重新排列的圆的“底”是周长的一半，等于 $\皮尔，$“高度”等于半径本身。

因此，圆的面积等于

$A = (r) (r) = (r ^{2})$

圆的面积是多少 $啊,，$如果圆 $O$半径为 $12?$

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有半径的圆的面积 $r=12$是 $\pi r^2=\pi\times 12^2=144\pi.\_\广场$

圆的面积是多少 $啊,，$如果圆 $O$直径为 $16?$

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圆的半径是 $8.$．因此，面积是 $\π\ times8 ^ 2 = 64 \π。\ _ \广场$

圆的面积是多少 $啊,，$如果圆 $O$周长为 $36\pi？$

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具有半径的圆的周长 $R$是 $2\pi r。$对于这个问题,， $2\pi r=36\pi，$所以 $r = 18。$因此，圆的面积为 $\pi r^2=\pi\times 18^2=324\pi.\_\广场$

圆的一半叫做半圆。半圆的面积是多少 $D$如果整个循环 $O$半径为 $10?$

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具有半径的圆的面积 $r = 10$是 $\pi r^2=\pi\乘以10^2=100\pi。$因此，半圆的面积为 $\分形{1}{2}\乘以100\pi=50\pi.\\平方$

圆的一半叫做半圆。半圆的面积是多少 $D$如果整个循环 $O$直径为 $14?$

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圆与直径的面积 $d = 14$是 $\pi\left（\frac{d}{2}\right）^2=\pi\times 7^2=49\pi。$因此，半圆的面积为 $\frac{1}{2}\乘以49\pi=\frac{49}{2}\pi.\\平方$

圆的一半叫做半圆。半圆的面积是多少 $D$如果 $D$周长为 $2\pi+4？$

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半圆的周长是圆的直径和周长的一半。如果圆的半径是 $R$半圆的周长是 $2r+\frac{1}{2}（2\pir）=2r+\pir=4+2\pi，$所以 $r = 2。$

因此，有半径的半圆的面积 $r=2$是 $\分形{1}{2}\times\pi r^2=2\pi.\\平方$

圆的弧长是弯曲部分的长度。整圆的弧长是它的周长，但是扇形（圆片）的弧长呢？它们是通过公式计算的 $S=r\theta，$哪里 $s$为弧长， $R$是圆的半径，并且 $\西塔$是扇区的角度。

注意：角度应以弧度为单位。

A.中央角圆的半径是一个角度，其顶点是圆的中心，边是圆的半径。

例如，在上图中， $\角AOB$是形成圆弧的中心角 $\stackrel\皱眉{AB}$如果 $角度AOB = 60^ circ，$我们叫 $\stackrel\皱眉{AB}=60^\circ$．

• 两个相等的弧由两个相等的中心角构成。

• 在两个弧中，较长的弧由较大的中心角形成。

• 如果中心角为 $180 ^ \保监会= \π$，由该角度形成的弧为周长的一半。如果中心角为 $360^\circ=2\pi$，由该角度形成的弧就是整个圆周。 $_\方格$

一内接角是一个角度，其顶点是圆周长上的一个点，其边是穿过顶点的圆的弦。

在图表中， $ACB \角$和 $亚洲开发银行\角$两个内切角都是圆弧吗 $\stackrel\皱眉{AB}$．

• 内接角的大小是形成相同圆弧的中心角大小的一半。

• 形成相同圆弧或形成两个相等圆弧的两个内接角相等。

• 如果两个内接角相等，则它们形成的弧相等。

• 两个圆周角中，圆周角越大，圆弧越长。 $_\方格$

平行角平分线

上图显示了两个弦相交的圆。两条弦通过交点分别切割成两段。一根弦被切割成两条线段，每条线段的长度相同 $A.$和 $B$另一个分成两段，每段长度 $C$和 $D$

这个相交弦定理说明上图中的两个和弦满足 $a\乘以b=c\乘以d。$因此 $a\b倍$总是等于 $c\d倍$无论两个和弦在圆内的何处相交。

发现价值 $x$在下图中。

平行角平分线

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根据相交弦定理，我们得到 $\开始{aligned}3次x&=4次6\\x&=8_\方形\结束{对齐}$

发现价值 $x$在下图中。

平行角平分线

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根据相交弦定理，我们得到了 $\开始{aligned}10次（x+4）&=15次（x+1）\\10x+40&=15x+15\\5x&=25\\x&=5_\方形\结束{对齐}$

下图中某些线段的长度为

$$ $\lvert\overline{AC}\rvert=2、\lvert\overline{CD}\rvert=3、\lvert\overline{DE}\rvert=6。$ $$

如果 $\lvert\overline{CE}\rvert=3\cdot\lvert\overline{AC}\rvert，$那是什么 ${AB} \反转?$

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自 $\lvert\overline{CE}\rvert=3\cdot\lvert\overline{AC}\rvert，$我们有 $\begin{aligned} \lvert \overline {CE} \rvert &= 3 \times \lvert \overline {AC} \rvert \ &= 3 \times 2 \\ &= 6。结束\{对齐}$

根据交弦定理，我们有 $\开始{aligned}\lvert\overline{AC}\rvert\times\lvert\overline{CE}\rvert&=\lvert\overline{CD}\rvert\times\lvert\overline{BC}\rvert\\2\times 6&=3\lvert\overline{BC}\rvert\\ lvert\overline{BC}\rvert&=4。\end{aligned}$

现在请注意 $\角度ACB=\角度DCE，$和 $\开始{aligned}\lvert\overline{AC}\rvert:\lvert\overline{CD}\rvert&=2:3\\\lvert\overline{BC}\rvert:\lvert\overline{CE}\rvert&=4:6=2:3，{aligned}$这意味着三角形 $\三角形ACB$和 $\三角形DCE$与SAS相似，比率为2:3。

因此，如果我们让 $x= lvert \overline {AB} \ rt，$然后 $\开始{aligned}x:\lvert\overline{DE}\rvert&=2:3\\x:6&=2:3\\x&=\frac{12}{3}=4。\end{aligned}$

因此, $\lvert\overline{AB}\rvert=4.\_\广场$

在下图中， $\眉题{AB}$一个半径为4的圆的弦是否为圆心 $O。$如果直线段 $\眉题{OC}$和 $\眉题{AB}$等分，长度是多少 $\上划线{AB}？$

$$平行角平分线

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平行角平分线

允许 $D$是圆上的点，其中 $\上划线{CO}$然后，因为圆的半径是4，两个和弦彼此平分，所以 $\上划线{CM}$和 $\上划线{DM}$是 $\开始{aligned}\lvert\overline{CM}\rvert&=4次\frac{1}{2}=2\\\lvert\overline{DM}\rvert&=4+2=6\结束{对齐}$

现在，根据相交弦定理，我们有 $\开始{aligned}\lvert\overline{AM}\rvert\times\lvert\overline{BM}\rvert&=\lvert\overline{CM}\rvert\times\lvert\overline{DM}\rvert\\ lvert\overline{AM}\rvert\times\lvert\overline{BM}\rvert&=2\times 6=12\结束{对齐}$

自 $\lvert \overline{AM} \rvert= lvert \overline{BM} \rvert，$我们知道 $\begin{aligned} \lvert \overline{AM} \rvert \times \lvert \overline{BM} \rvert &=12 \\ \lvert \overline{AM} \rvert ^2&=12 \\ \lvert \overline{AM} \rvert &= 2\sqrt{3}。结束\{对齐}$

因此，我们的答案是 $\lvert\overline{AB}\rvert=2\cdot\lvert\overline{AM}\rvert=2\cdot 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}.\\平方$

A.圆扇形是一个封闭的图形，由圆的两个半径和圆的圆弧限定。角的扇形 $\西塔$和半径 $R$如下图所示。

$\水平间距{5厘米}$扇形圈

如果角度 $\西塔$是度，那么扇形的面积是 $\dfrac{\theta}{360^{\circ}$因为圆的面积是 $\πr ^ 2$，扇区面积为

${360^{\circ}}乘以r^2。$

如果 $\西塔$以弧度为单位，则扇区的面积为 $\dfrac{\theta}{2\pi}$所以扇形的面积是

$\dfrac{\theta}{2\pi}\times\pi r^2=\dfrac{1}{2}r^2\theta。$

一个扇区有半径 $12\text{cm}$和角度 $60 ^ \保监会$.找到它的区域。

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$文本\开始{对齐}\{(地区)}& = \压裂{60 ^ \保监会}{360 ^ \保监会}\ \π\乘以12 ^ 2 \ \ & = \压裂{π\乘以144}{6}\ \ & \ approx75.4 \ \离开文本(\{厘米}^ 2 \右)。\;_ \广场\{对齐}结束$

一个部门有一个区域 $10\pi\text{mm}^2$和角度 $\dfrac{\pi}{5}$.找到它的半径。

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我们有 $\开始{aligned}\text{（Area}&=\frac{1}{2}r^2\theta\\10\pi&=\dfrac{1}{2}r^2\times\dfrac{pi}{5}\\r^2&=100\\left（\text{mm}^2\right）。\end{aligned}$

因此 $R = 10 \text{mm}$． $_\方格$

以下是我们对上图的了解：

• $判定元件$是具有半径的大圆的直径 $R$所以 $德= 2 r。$
• 两个中等大小的圆的半径相等 $R$并且都是相切的 $判定元件$和大圆圈。
• 这个小圆有半径 $A.$与其他三个圆相切。

现在，我们如何表达 $A.$依据 $R$

注意 $AB = R - a$和 $r=\frac{r}2。$然后是三角形 $美国广播公司，$我们有

$\（a+r）^2{{{{{{{对齐}}开始开始{{{{{对齐}}}}}}{{{{{{{{对齐}}（a+r+r）开始开始{{{{{{{{{{{{{}}}{{{{{{{{a+r+r+r+r+r+r+r+r+r+r）^2（r+r+r）^1）^2（r+r+r）^2）的^2（r+r+r+r+r+r+r）的^2）^2（r+r+r+r）^2）的^2（r-a）的^2+r-a）^2（r-a）^2+r）的^2+2+a）^2（r-a）的^2+2+2+2+a）的^2（a）的^2（a+a+a）^2{r}{3}.\end{aligned}$

假设我们现在有一个更小的圆 $德,$大的圆形，上面的中等圆形，如下图所示。你能证明这个新圆的半径是多少吗 $\frac{R}4？$