混沌理论

混沌理论是研究从某些初始条件演化而来的特定类型系统的学科。在混沌系统的初始设置中，一个微小的扰动可能导致截然不同的行为，这一概念通常被称为蝴蝶效应因为蝴蝶的动作可能会极大地改变世界其他地方的物理状态。虽然混沌系统的行为可能看起来是分散的和随机的，但混沌系统被严格地定义为确定的，意思是一组特定的初始条件总是以相同的方式演化。

一种非耦合映射晶格，混沌映射的一种类型。作者Travdog8 -自己的工作，CC By - sa 3.0, https://en.wikipedia.org/w/index.php?curid=22892411

混沌映射既可以是离散函数，也可以是连续函数，其中初始值略有不同，但随着时间的推移会逐渐映射得越来越远。通常，它们是由离散映射的递归关系或连续映射的时域关系给出的。

混沌理论在生物、化学、物理、经济学和数学等领域的应用非常广泛。通常，具有大量耦合变量的系统表现出混沌行为，包括天气系统、就业市场、人口动态和天体力学。

将一个系统归为混沌需要具备三个数学属性:^［1］

1. 初始条件敏感性
2. 拓扑混合
3. 周期轨道的密度。

在某些情况下，后两个在数学上隐含了第一个。然而，正如下面所讨论的，这三种条件中的每一种都捕获了一般混沌系统的不同定性方面。的条件定义为相空间一个动力系统。在一维空间中，相空间是二维空间，其轴是位置 $x$和速度 $\点{x}$一个点;在更高的维度中，轴是每个可能方向上的位置和速度。

初始条件敏感性

假设有两组初始条件 $z_0$和 $z_0 ^ {\ '}$对于一个动力系统，由 $\δz (t)$在相空间中，它可以随着系统的演化而增大或减小 $t$．随着系统的发展，两个初始状态之间的分离随着时间的推移而发展

$z(t) = e^{t} z(0)$

指数 $\λ$被称为李雅普诺夫指数．在 $d$空间维度，相空间是 $二维$-维度，所以有 $二维$李雅普诺夫指数:相空间中状态分离的每个方向各一个。系统通常以这些指数中最大的为特征;如果最大指数为正，则分离在时间上呈指数增长(至少局部如此)，系统是混沌的。如果最大指数是负的，初始条件的轨迹 $z_0$和 $z_0 ^ {\ '}$在相空间中保持紧密，所以紧密分离的轨迹对彼此来说是很好的近似，系统不是混沌的。

拓扑混合

仅对初始条件的敏感性不足以使地图变得混乱。例如，考虑由地图生成的动态系统:

$Z_ {n+1} = f(z_n) = 1.5$

考虑两个起点 $z_0 = 0$和 $z_0 ^ {\ '} = 0.1$．每个点的演化如下图所示:

点的逐渐分离 $z_0$和 $z_0 ^ {\ '}$对地图进行重复的迭代 $f (z_n)$．

因为生成系统的地图乘以 $1．5$然后加上1，起始点之间的任何微小差异都会被放大一倍 $1．5$在每一个步骤。然而，系统并不是混沌的:无论起始点是什么，每个点都接近正无穷或负无穷，所以给定一组初始条件的渐近行为是非常可预测的。

拓扑混合条件的设计就是为了排除这种情况。它本质上是说，给定一个动力系统的任何可能的状态集，系统的一个给定的初始条件集最终会演化到至少这个集合中的一些状态。在拓扑上，这可以表述为:动力系统相空间中的任意开集最终与相空间中的任意给定开集相交。

周期轨道密度

动力学系统周期轨道密度是指相空间中任意给定的点任意接近一组导致周期轨道的初始条件。这是一个有趣的条件，因为结合拓扑混合，它意味着对初始条件的敏感性。取两个封闭初始条件，在相空间中围绕每个初始条件画开集，使两个开集不相交。通过拓扑混合，这些开集最终演变成与任何其他给定的开集相交，也就是说，随着时间的推移，它们在剩余的相空间上“涂抹”。但是，如果在每个开放集中有任意多的周期轨道，这种“涂抹”只有在周期轨道看起来完全不同的情况下才有可能。看这个的一种方法是，任何给定的点看起来都应该被附近的周期轨道很好地近似，但事实并非如此，因为整个周期轨道集必须演化成与相空间中的任何开放集相交。如果这对任意接近的初始条件成立，相空间中的轨迹一定是发散的，因为附近的周期轨道不收敛于初始条件的轨迹。

复杂的二次多项式

一个复二次多项式是一个标准的二次方程，其中的变量可以是一个复数。一个特别简单的例子是多项式

$F (z) = z²+ c$

为一个常数 $c$．我们可以通过递归从这个映射定义一个动态系统 $z_ {n + 1} = f (z_n)$．在这种情况下，所定义的动力系统是混沌的。事实上,鉴于 $z_0 = 0$，系统发散为 $n \ \ infty$除非 $c$取分形集合上的值Mandlebrot集．

这个分形被称为曼德尔勃洛特集。复杂的二次映射在黑色的地方收敛，并根据颜色的强度在其他地方发散。作者Wolfgang Beyer, CC By - sa 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=321973

Rossler吸引子

Rössler吸引子是指由以下一阶集合给出的动力系统常微分方程在三维空间中:

$\开始{数组}{c} & \压裂{dx} {dt} = y z, & \压裂{dy} {dt} & = x + ay & \压裂{dz} {dt} & = b + z(得到)\{数组}$

为 $a, b, c$实际参数。它类似于著名的混沌映射洛伦兹吸引子，尽管数学上更简单。值得注意的是，Rössler吸引子被用于研究反应化学中的平衡．

给定一组参数的Rössler吸引子的一组轨道 $a, b, c$．Wolfl -自己的工作，CC By - sa 2.5, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=346875

双摆

双摆是物理学中混沌行为最简单的情形之一。双摆的哈密顿运动方程得到四个耦合的一阶常微分方程，这是产生混沌的充分条件。下面的动画显示了高度不可预测的演变的双摆给定一个特定的初始配置。

双摆随时间的混沌演化。通过Catslash -自己的作品，公共领域，https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=10404903

Henon地图

Hénon映射是由一组递归关系给出的平面上的一个离散映射

$\{对齐}开始间{n + 1} & = 1 - ax_n ^ 2 +最大\ \ y_ {n + 1} & = bx_n \{对齐}结束$

对于一些参数 $一个$和 $b$．参数的选择 $(a, b) = (1.4, 0.3)$被称为古典Henon地图，表现出混乱的行为。

给定初始条件下Hénon映射的演化。作者Akarpe -自己的工作，CC By - sa 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=18263865

耦合映射格子

在映射格中，离散的点阵列被索引并排列在格中，每个点都能根据特定类型的递归关系演化。在一个不耦合的地图点阵中，每个站点都是独立发展的，例如由

$X_ {n+1} = rx_n (1-x_n)，$

在哪里 $r$是一些参数。在耦合映射晶格中，的递归 $我^ \文本{th}$场址不仅取决于该场址的先前值，而且还取决于相邻场址:

$(间{n + 1}) _i = \ε\大(rx_n (1-x_n) \大)_i +(1 - \ε)\大(rx_n (1-x_n) \大)_{张}。$

的参数 $\ε$给出了耦合度;作为 $\ε\ 1$映射晶格变得不耦合，并且为 $\ε\ 0$地图是最大耦合的。映射格之所以有趣，首先是因为非耦合和耦合的映射格都是混沌的，尽管耦合的映射格显示了更丰富的结构。其次，它们被用于模拟空间中相邻化学物质和电路之间的相互作用。

不耦合映射格子的40个不同的种子，每一个都有不同的值 $r$．颜色指示数组中由晶格上的特定点索引的点的值。这种映射是混沌的，在任何给定的迭代中都不存在特定的结构。作者Travdog8 -自己的工作，CC By - sa 3.0, https://en.wikipedia.org/w/index.php?curid=22892411

混乱的混合

在混沌混合中，以分形方式跟踪流体流动的密度、粘度或温度等量。这种流体由一阶ode系统控制。对于由三维Navier-Stokes方程，有足够的自由度使流体流动处于混沌状态。

红色表示的液体中的细丝，在液体流动时以混乱的方式混合。Peteymills -自己的作品，CC0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=18966717

Ikeda地图

池田映射是递归给出的离散复杂映射

$z_{n+1} = A + Bz_n e^{i\left(|z_n|^2 + C\right)}，$

对于一些参数 $A、B$, $C$．这是一个物理模型，用于一系列激光脉冲在一个叫做光学谐振器的非线性介质中相互作用。的参数 $B$描述了谐振器的有损程度。

池田映射的随机初始条件轨迹。加速计(自己的工作)[CC By -sa 3.0 (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)]，通过维基共享

标准地图

标准映射是定义为递归关系的一个动态系统，即

$\{对齐}开始p_ {n + 1} & = p_n + K \罪(\ theta_n) \ \ \ theta_ {n + 1} & = \ theta_n + p_ {n + 1} \{对齐}结束$

与 $p_n$， $\ theta_n$模 $2 \π$和 $K$一个常数。它描述了一个粒子的动量和角度，这个粒子被限制在一个环上，在一个特定的强度方向上经历周期性的踢动 $K$，即服从哈密顿量的粒子

$H = \压裂{p ^ 2} {2} + K \ cos (x) \ sum_n \δ(t - n)$

加上动量是周期性的额外约束。这个系统叫做开始旋转和常数 $K$这叫做踢腿力量。它出现在任何周期性踢动系统的研究中，因此在粒子被限制在环内的物理学中特别有用，如加速器或等离子体物理学。

值在相空间的标准映射的轨道集 $K = 0.6$．Linas -自己的作品，CC By - sa 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=12053416

1. (2003)。动力学的第一个课程:最近发展的全景．剑桥大学出版社。