混沌理论
混沌理论是研究从某些初始条件演化而来的一种特殊类型的系统。混沌系统初始设置中的一个小扰动可能导致截然不同的行为,这一概念通常被称为混沌系统蝴蝶效应蝴蝶的行为可能会极大地改变世界其他地方的物理状态。尽管混沌系统的行为看起来是分散的和随机的,混沌系统被严格地定义为确定的这意味着一组特定的初始条件总是以相同的方式演变。
混沌映射可以是离散函数,也可以是连续函数,其中初始值略有不同,随着时间的推移,映射的距离越来越远。通常,对于离散映射,它们以递归关系的形式给出,对于连续映射,它们以时域的形式给出。
混沌理论广泛应用于生物学、化学、物理学、经济学和数学等领域。通常,具有大量耦合变量的系统表现出混乱的行为,包括天气系统、就业市场、人口动力学和天体力学。
混沌的条件
要将一个系统归类为混沌系统,必须具备三个数学属性:[1]
- 对初始条件的敏感性
- 拓扑混合
- 周期轨道的密度。
在某些情况下,后两者在数学上意味着前两者。然而,正如下面所讨论的,这三个条件中的每一个都概括了混沌系统的不同定性方面。每个都被定义为上的一个条件相空间动力系统的。在一维中,相空间是二维空间,其轴是位置 和速度 一点的:一点的;在高维中,轴是每个可能方向上的位置和速度。
对初始条件的敏感性
假设有两组初始条件 而且 对于动力系统,间隔的距离为 在相空间中,随着系统的演化,它可能增加或减少 .随着系统的演化,两个初始状态之间的分离随时间的推移而演化
指数 叫做李雅普诺夫指数.在 空间维度,相空间是 -维的,所以有 李雅普诺夫指数:相空间中状态分离的每个方向一个指数。系统通常以这些指数中最大的一个为特征;如果最大指数为正,则分离随时间呈指数增长(至少在局部),系统是混沌的。如果最大指数为负,初始条件下的轨迹 而且 在相空间中保持接近,因此紧密分离的轨迹彼此是很好的近似,系统不是混沌的。
拓扑混合
仅对初始条件的敏感性不足以使地图变得混乱。例如,考虑由地图生成的动力系统:
考虑两个出发点 而且 .每个点的演变如下图所示:
因为生成系统的映射乘以 然后加1,起点之间任何微小的差异都会被放大一个倍 在每一步。然而,系统不是混沌的:无论起始点是什么,每个点都接近正无穷或负无穷,因此给定一组初始条件,系统的渐近行为是非常可预测的。
拓扑混合条件的设计排除了这种情况。它本质上是说给定动力系统的任意可能的状态集,给定系统的初始条件集最终将演化为至少集合中的一些状态。拓扑学上,这可以表述为:动力系统相空间中的任何开集最终与相空间中的任何其他给定开集相交。
周期轨道密度
动力系统中周期轨道的密度意味着相空间中的任何给定点都任意接近于导致周期轨道的初始条件集。这是一个有趣的条件,因为结合拓扑混合,它意味着对初始条件的敏感性。取两个封闭的初始条件,并在相空间中围绕每个初始条件画出两个开放集,使这两个开放集不相交。通过拓扑混合,这些开集最终演变成与任何其他给定的开集相交,即随着时间的推移,它们在相空间的其余部分上“涂抹”。但如果在每个开放集合中有任意多的周期轨道,这种“涂抹”只有在周期轨道看起来截然不同的情况下才可能发生。一种看待这个问题的方法是,任何给定的点看起来都应该与附近的周期轨道很接近,但它不是,因为完整的周期轨道必须演化到与相空间中的任何开集相交。如果这在任意封闭的初始条件下成立,相空间中的轨迹必然发散,因为附近的周期轨道不收敛于初始条件下的轨迹。
示例及应用
复二次多项式
复二次多项式是一个标准二次方程,其中涉及的变量可以是复数。一个特别简单的例子就是多项式
对于某个常数 .我们可以通过递归从这个映射中定义一个动力系统 .在这种情况下,定义的动力系统是混沌的。事实上,给定 时,系统发散为 除非 获取分形集上的值Mandlebrot集.
Rossler吸引子
Rössler吸引子指的是一个由以下一阶集合给出的动力系统常微分方程在三维空间中:
为 实际参数。它类似于被称为洛伦兹吸引子的著名混沌映射,尽管在数学上更简单。值得注意的是,Rössler吸引子已被用于研究反应化学的平衡.
双摆
双摆是物理学中最简单的混沌现象之一。双摆的Hamilton运动方程给出了四个耦合的一阶常微分方程,这是混沌的充分条件。下面的动画显示了高度不可预测的演变的双摆给定一个特定的初始配置。
Henon地图
Hénon映射是由递归关系集给出的平面上的离散映射
对于一些参数 而且 .参数的选择 叫做经典的Hénon地图,表现出混沌行为。
耦合映射格
在地图晶格中,点的离散数组被索引并排列在晶格中,每个点都能够根据特定类型的递归关系进化。在一个不耦合的地图格中,每个点都是独立地演化的
在哪里 是某个参数。的递归在耦合映射格中 Site不仅取决于该站点之前的值,还取决于相邻站点:
的参数 给出了耦合的程度;作为 映射晶格变得不耦合,并且 映射是最大耦合的。映射格首先是有趣的,因为非耦合映射格和耦合映射格都是混沌的,尽管耦合映射格显示出更丰富的结构。其次,它们被用来模拟空间中相邻化学物质之间的相互作用以及电路。
混乱的混合
在混沌混合中,以分形方式跟踪流体混合流动的密度、粘度或温度等量。这种流体由一阶ode系统控制。对流体的控制三维Navier-Stokes方程,有足够的自由度使流体流动是混沌的。
Ikeda地图
池田映射是递归给出的离散复映射
对于一些参数 , .它是物理学中用来描述一系列激光脉冲在一种叫做光学谐振腔的非线性介质中相互作用的模型。的参数 描述了谐振器的有损程度。
标准地图
标准映射是一个动态系统,定义为平方上的递归关系,即
与 , 模 而且 一个常数。它描述了一个粒子的动量和角度,它被限制在一个环上,在一个特定的强度方向上经历周期性的踢 ,即一个服从哈密顿量的粒子
额外的约束条件是动量是周期性的。这个系统叫做开始旋转常数 叫做踢力。它出现在任何周期性踢系统的研究中,因此在粒子被限制在一个环的物理学中特别有用,例如加速器或等离子体物理学。
参考文献
- 哈苏布拉特,B. &卡托克,A.(2003)。动力学第一课:近期发展全景图.剑桥大学出版社。