链式法则
定义
直观地说，通常一个函数“内部”会有另一个函数，它首先与输入变量相关。因为我们知道函数的导数是变化率，我们需要计算这个“内部”函数的变化率，以及整个函数相对于输入变量的变化率。链式法则允许我们这样做。
链式法则指出，给定一个复合函数\(f\big(g(x)\big)\)，它的导数是外部函数的导数(保持内部函数不变)乘以内部函数的导数。简洁,
链式法则
\[\压裂f \ d {} {dx}大(g (x) \大)\枚f \大(g (x) \大)\ cdot g’(x) \]
关于函数组合链的另一种表述是
\[(f \circ g)' = (f' \circ g) \cdot g'.\]
另一种直观(几乎微不足道)的表述方式是
\[\压裂{d f \保监会g} {dx} = \压裂{d f \保监会g} {dg} \压裂{d g} {dx} \]。
让我们通过一些例子来看看它是如何工作的。
求\(\frac{d}{dx} (2x + 1) ^ 2 \)
令\(g(x) = 2x + 1 \)和\(f(x) = x²\)然后，(2x+1)^2 = f\big(g(x)\big)\)我们知道\ (g (x) = 2 \) \ (f (x) = 2 x \)。因此,
\[开始\{对齐}\压裂{d} {dx} (2 x + 1) ^ 2 & = f \大(g (x) \大)\ cdot g’(x) \ \ & = f (2 x + 1) \ cdot 2 \ \ & = 2 (2 x + 1) \ cdot 2 \ \ & = 8 x + 4。\ _\square \end{align}\]
求值\(\frac{d}{dx} e^{x^2} \)
令g(x) = x^2和f(x) = e^x。那么，\(e^{x^2} = f \big(g (x)\big) \)。我们知道\ (g (x) = 2 x \)和\ (f (x) = e x ^ \)。因此,
\[开始\{对齐}\压裂{d} {dx} e ^ {x ^ 2} & = f \大(g (x) \大)\ cdot g’(x) \ \ & = f ' \大(x ^ 2 \大)\ cdot 2 x \ \ & = e ^ {x ^ 2} \ cdot 2 x \ \ & = 2 xe ^ {x ^ 2}。\ _\square \end{align}\]
求cos^5x的导数。
令g(x)= cos x和f(x)=x^5。那么,\ \因为^ 5 x = f \大(g (x) \大)\)。我们知道\ (g (x) = - \ sin (x) \ \ (f (x) = 5 x ^ 4 \)。因此,
\[\开始{对齐}\压裂f \ d {} {dx}大(g (x) \大)& = f \大(g (x) \大)\ cdot g’(x) \ \ & = f (\ cos (x) \ cdot (- \ sin (x)) \ \ & = 5 \因为^ 4 x \ sin (x),广场\ _ \ \{对齐}\]
证明
那么，如何证明链式法则呢?证明如下:
我们先回顾一下微分的定义:
\[\压裂{d} {dx} f (x) = \ lim_{\δx \ rightarrow0} \压裂{f (x + \δx) - f (x)}{\δx} \]。
因此我们有
\[开始\{对齐}\压裂f d {} {dx} \大(g (x) \大)& = \ lim_{\δx \ 0} \ dfrac {f \大(g (x +δx) \ \大)- f \大(g (x) \大)}{\δx} \ \ & = \ lim_{\δx \ 0} \ dfrac {f \大(g (x +δx) \ \大)- f \大(g (x) \大)}{\δx} \ cdot \ dfrac {g (x + \δx) - g (x)} {g (x + \δx) - g (x )} \\ &= \ lim_{\δx \ 0} \ dfrac {f \大(g (x +δx) \ \大)- f \大(g (x) \大)}{g (x + \δx) - g (x)} \ cdot \ lim_{\δx \ 0} \ dfrac {g (x + \δx) - g (x)}{\δx} \ \ & = \ lim_{\δx \ 0} \ dfrac {f \大(g (x + \δx) \大)- f \ (g (x) \大)}{g (x + \δx) - g (x)} \ cdot g’(x)。结束\{对齐}\]
代入g(x+ x)-g(x) = g，我们得到g→0 = x→0，所以
\[开始\{对齐}\压裂f d {} {dx} \大(g (x) \大)& = \ lim_{\δg \ 0} \ dfrac {f \大δg (g (x) + \ \大)- f \大(g (x) \大)}{δg \} \ cdot g ' (x) \ \ & = f ' \大(g (x) \大)\ cdot g’(x)。\ _\square \end{align}\]
迭代链式法则
有时，我们可能需要反复应用链式法则来求导数。例如，如果\(f(x) = \sqrt{\tan (x^3)}\)，内部函数本身就是一个复合函数。
在这种情况下，我们必须不止一次地应用链式法则。具体来说，对于三个组成的函数，我们有
\[\压裂f \ d {} {dx}大(g大(h (x) \大)\ \大)= f \大(g (h (x) \大)\ cdot g \大(h (x) \大)\ cdot h (x) \]
这可以很容易地扩展到任意数量的组合函数。
求(\sqrt{\tan(x^3)})的导数。
我们从确定给定函数的基本部分开始，我们知道如何微分。我们可以称之为\ \√{\ tan (x ^ 3)} = f \大(g大(h (x) \大)\ \大)\),在那里\ (f (x) =大概{x} \ \), \ (g (x) = \ tanx \)和\ (h (x) = x ^ 3 \)。
然后我们有\ (f (x) = \压裂{1}{2 \√{x }} \), \( g’(x) = \交会^ 2 x, \)和\ (h (x) = 3 x ^ 2 \)。
应用链式法则，我们可以看到\(\frac{d}{dx} \sqrt{\tan(x^3)} = f'\Big(g\ Big(h(x)\ Big) \cdot \frac{d}{dx} g\ Big(h(x)\ Big) \)。然而，为了求出g\big(h(x)\big)\)的导数，我们必须再次应用链式法则，得到如下结果:
\[开始\{对齐}\压裂{d} {dx} \ sqrt {\ tan (x ^ 3)} & = f \大(g大(h (x) \大)\ \大)\ cdot \压裂g \ d {} {dx}大(h (x) \大)\ \ & = f ' \大(g大(h (x) \大)\ \大)大\ cdot \ [g \大(h (x) \大)\ cdot h '大(x) \] \ \ & = \压裂{1}{2 \√{\ tan \离开(x ^ 3 \右)}}\ cdot \ sec ^ 2 \离开(x ^ 3 \) \ cdot 3 x ^ 2 \\\\ &= \ 压裂{3 x ^ 2 \ sec ^ 2 \离开(x ^ 3 \右)}{2 \√{\ tan \离开(x ^ 3 \右)}}。\ _\square \end{align}\]
对于更难的挑战，试试: