切瓦定理
切瓦定理是欧几里得平面几何中关于三角形的一个定理。它与三角形边长除以cevian的比率有关。
曼纽拉斯定理使用非常相似的结构。这两个定理在奥林匹克几何中都很有用。
Ceva定理是证明三角形中cevian并发性的有效方法,在奥林匹克几何中得到了广泛的应用。
声明
给定一个三角形 与一个点 在三角形内部,继续线条 达到 在 分别。
切瓦定理州
切瓦定理的反面也是正确的:如果 在国 分别为, ,然后行 在一个点上是并行的吗 .
切瓦定理的证明
对于切瓦定理有各种各样的证明。在这个维基中,我们要用三角形的面积来证明它。
请注意,
因为 而且 保持相同的高度(最后两个三角形也是如此)。
通过用第一个等式减去第二个等式的三角形面积,我们得到
同样的,
把前面三个方程相乘,得到
实践问题
证明,如果 是两边的中点,三个cevian是并行的。
在这种情况下, 是它们各自边的中点。因此, 而且 所以它立即满足了切瓦定理,证明了交点的存在,也就是质心。
证明cevian垂直于对边是并发的。
让 做足人的高度。
请注意, 类似地, .因此,
这三个方程相乘得到
重新排列左边就得到
因此,三个高度重合在一个点上,即圆心。