Bretschneider的公式

Bretschneider的公式给出一个四边形的面积， $\δ$，由下式表示:

$\三角洲^{2}=(年代)(sb) (s-c)(瓣)abcd \ cos ^{2} \离开(\压裂{B + D}{2} \右)。$

$$
符号:让 $[X]$表示一个多边形(这里是三角形或四边形)的面积。也让 $\Delta = [ABCD]$，让 $AB =一个$, $公元前= b$, $CD = c$, $DA = d$．让 $年代$是四边形的半周长 $ABCD$，由 $s = \ dfrac {a + b + c + d} {2}$．

证明图

建设:加入 $\眉题{AC}$．

证明:

我们有

$\begin{aligned} [ABCD] &= [ABC] + [ACD] \\\ Delta &= \frac{1}{2}ab\sin B + \frac{1}{2}cd\sin D \\\\ \Rightarrow \ 2ab\sin B + 2cd\sin D &= 4\Delta \qquad {\color{#3D99F6} (1)} \end{aligned}$

现在我们用余弦法则来求 $交流$两种方式，一次使用 $δBAC \$一旦使用 $δDAC \$．

$\{对齐}开始交流^ {2}& = ^ {2}+ b ^ {2} - 2 ab \因为b \ \ & = c ^ {2} + d ^ {2} - 2 cd \因为d \ \ \ \ \ Rightarrow \ 2 ab \因为b - 2 cd \因为d & = ^ {2} + b ^ {2} - c ^ {2} - d ^{2}。\qquad {\color{#3D99F6} (2)} \end{aligned}$

方程的平方和加法 ${{# 3 d99f6} \颜色(1)}$而且 ${{# 3 d99f6} \颜色(2)}$，我们有

$^ 4 \开始{对齐}{2}b ^ {2} + 4 c ^ {2} d ^ {2} - 8 abcd(\因为罪罪\ cos d - \ b \ d) & = 16 \三角洲^{2}+ \大(^ {2}+ b ^ {2} - c ^ {2} - d ^{2} \大)^ {2}\ \ 4 ^ {2}b ^ {2} + 4 c ^ {2} d ^ {2} 8 abcd \ cos (b + d) & = 16 \三角洲^{2}+ \大(^ {2}+ b ^ {2} - c ^ {2} - d ^{2} \大)^ {2}\ \ (2 ab + 2 cd) ^ {2} 8 abcd-8abcd \ cos (b + d) & = 16 \三角洲^{2}+ \大(^ {2}+ b ^ {2} - c ^ {2} - d ^{2} \大)^ {2}\ \ (2 ab + 2 cd) ^ {2} 8 abcd \大(1 + \ cos (b + d) \大)& = 16 \三角洲^{2}+ \大(^ {2}+ b ^ {2} - c ^ {2} - d ^{2} \大)^{2}。结束\{对齐}$

然后

$16 \ \{对齐}开始三角洲^ {2}& = (2 ab + 2 cd) ^{2} - \大(^ {2}+ b ^ {2} - c ^ {2} - D ^{2} \大)^ {2}8 abcd \ * 2 \因为^{2}\离开(\压裂{b + D}{2} \) \ \ & = \大(2 ab + 2 cd + ^ {2} + b ^ {2} - c ^ {2} - D ^{2} \大)\ \倍大(2 ab + 2 cd-a ^ {2} - b ^ {2} + c ^ {2} + D ^{2} \大)-16年abcd \因为^{2}\离开(\压裂{b + D}{2} \) \ \ & = \大((a + b) ^ {2} - - - - - - (c - D) ^{2} \大)\大((c + D) ^ {2} - - - - - - (a - b) ^{2} \大)-16年abcd \因为^{2}\离开(\压裂{b + D} {2} \) \ \ & = (a + b + c - D) (a + c + D) (a - b + c + D) (a + b + c + D) -16 abcd \因为^{2}\离开(\压裂{b + D} {2} \) \ \s-2c & = (2 s-2d) (2) (2 s-2b) (2 s-2a) -16年abcd \因为^{2}\离开(\压裂{B + D}{2} \) \ \ & = 16(年代)(sb) (s-c)(瓣)-16 abcd \ cos ^{2} \离开(\压裂{B + D}{2} \) \ \ \ \ \意味着\三角洲^{2}& =(年代)(sb) (s-c)(瓣)abcd \ cos ^{2} \离开(\压裂{B + D}{2} \右),结束\{对齐}$

也就是布莱特施耐德公式。 $_ \广场$

请参见上面的页面循环的四边形而且Brahmagupta的公式．