Brahmagupta的公式

Brahmagupta的公式是应用于循环四边形的Bretschneider公式的一个特例。

一个循环四边形的例子

Bretschneider的公式表示四边形的面积为

$\三角洲^{2}=(年代)(sb) (s-c)(瓣)——abcd \ cos ^{2} \离开(\压裂{B + D}{2} \右),$

在哪里 $\δ$是四边形的面积， $B$和 $D$的角度, $a, b, c,$和 $d$四边形的边是和吗 $年代$这个四边形的半周长是由 $s = \压裂{a + b + c + d} {2}$．

对于一个循环四边形，我们知道对角和是 $180 ^{\保监会}$．因此我们有 $B + D = 180 ^{\保监会}$．因此，Brahmagupta公式的简化版本如下:

Brahmagupta的公式

$δ^ \{2}=(年代)(sb) (s-c)(源)$

给定一个有边长的循环四边形 $a, b, c, d$,面积 $\δ$可以找到

$δ= \ \√6{(年代)(sb) (s-c)(源)}。$

或者，不用半周长，我们可以用

$δ= \ \压裂{1}{4}\√6 {(a + b + c + d) (a - b + c + d) (a + c + d) (a + b + c - d)}。$

假设 $A, B, C, D$为循环四边形的顶点，并且 $p, q, r, s$边长 $广告,AB,公元前,CD,$分别。然后

$\begin{aligned} (\text{Area of} ABCD) \equiv K &=(text{Area of} triangle ADB)+(text{Area of} triangle BDC)\\\\ &= frac {pq \sin A}{2} + frac {rs \sin C}{2}。结束\{对齐}$

因为四边形是循环的， $\罪= \ C的罪,$所以

${对齐}K = \ \开始压裂{pq \罪}{2}+ \压裂{rs \罪}{2}\ \ K ^ 2 & = \压裂{1}{4}{(pq + rs)} ^{2} \罪^{2}{一}\ \ 4 K ^{2} & ={\离开(pq + rs \右)}^大(1 -{2}\ \因为^{2}{}\大 ) \\ &={ \ 左(pq + rs \右)}^{2},{\离开(pq + rs \右)}^{2}\大(\因为^{2}{}\大)。结束\ qquad(1) \{对齐}$

共边求解 $DB$在三角形 $亚洲开发银行$和 $下死点$利用余弦定理，我们得到

${p} ^ {2} + {q} ^ {2} 2 pq \ cos = {r} ^{2} +{年代}^ {2}2 rs \因为C。$

为角度 $一个$和 $C$是互补的, $\ cos = - \因为C$和

$2 (pq + rs) \ cos = {p} ^ {2} + {q} ^ {2}, {r} ^{2},{年代}^{2}。$

代入面积方程 $(1)，$我们得到了

$16 K {} ^ {2} = {4 (pq + rs)} ^{2},{\大(p {} ^ {2} + {q} ^ {2} - {r} ^{2} -{年代}^{2}\大)}^{2}。$

方程的RHS是这样的 ${a}^{2}-{b}^{2}$，所以可以写成

$\开始{对齐}\大[2 (pq + rs) - \大(p {} ^ {2} + {q} ^ {2} - {r} ^{2},{年代}^{2}\大)\]大大\ [2 (pq + rs) + \大(p {} ^ {2} + {q} ^ {2} - {r} ^{2},{年代}^{2}\大)\]大& = \[{\离开(r + s \右)}^{2}-{\左(p q \右)}^{2}\]大大\[{\离开(p + q \右)}^{2}-{\左(r \右)}^{2}\]大\ \ \ \& = (p + q + r) (p + q r + s) (p q + r + s) (p + q + r + s)。结束\{对齐}$

那么，这个有边的循环四边形的面积 $a, b, c, d$可以写成

$K = \压裂{1}{4}\√6 {(a + b + c - d) (a + c + d) (a - b + c + d) (a + b + c + d)}。\ _ \广场$

• 海伦的公式