如果一个集合的每个元素只与第二个集合的一个元素配对,而第二个集合的每个元素只与第一个集合的一个元素配对,则一个函数对两个集合是双射的。这意味着所有元素都是成对的,成对一次。gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba:gydF4y2BaXgydF4y2Ba→gydF4y2BaYgydF4y2Ba是一个函数。然后gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba是gydF4y2Ba双射gydF4y2Ba如果它是单射和满射;也就是说,每一个元素gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba∈gydF4y2BaYgydF4y2Ba是gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba元素gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba∈gydF4y2BaXgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
这个函数gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba:gydF4y2BaRgydF4y2Ba→gydF4y2BaRgydF4y2Ba定义为gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2BaxgydF4y2Ba是一个双射。gydF4y2Ba
这个函数gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba:gydF4y2BaZgydF4y2Ba→gydF4y2BaZgydF4y2Ba定义为gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba{gydF4y2BangydF4y2Ba+gydF4y2Ba1gydF4y2BangydF4y2Ba−gydF4y2Ba1gydF4y2Ba如果gydF4y2BangydF4y2Ba是奇数gydF4y2Ba如果gydF4y2BangydF4y2Ba甚至gydF4y2Ba是一个双射。gydF4y2Ba
这个函数gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba:gydF4y2Ba{gydF4y2Ba一年中的几个月gydF4y2Ba}gydF4y2Ba→gydF4y2Ba{gydF4y2Ba1gydF4y2Ba,gydF4y2Ba2gydF4y2Ba,gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba,gydF4y2Ba4gydF4y2Ba,gydF4y2Ba5gydF4y2Ba,gydF4y2Ba6gydF4y2Ba,gydF4y2Ba7gydF4y2Ba,gydF4y2Ba8gydF4y2Ba,gydF4y2Ba9gydF4y2Ba,gydF4y2Ba1gydF4y2Ba0gydF4y2Ba,gydF4y2Ba1gydF4y2Ba1gydF4y2Ba,gydF4y2Ba1gydF4y2Ba2gydF4y2Ba}gydF4y2Ba定义为gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba数量gydF4y2BangydF4y2Ba这样gydF4y2Ba米gydF4y2Ba是gydF4y2BangydF4y2BathgydF4y2Ba月gydF4y2Ba是一个双射。gydF4y2Ba
注意,上面的讨论暗示了以下事实(参见gydF4y2Ba双射函数gydF4y2Bawiki为例):gydF4y2Ba
如果gydF4y2Ba
XgydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
YgydF4y2Ba是有限集gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba:gydF4y2BaXgydF4y2Ba→gydF4y2BaYgydF4y2Ba是双射的,那么gydF4y2Ba
∣gydF4y2BaXgydF4y2Ba∣gydF4y2Ba=gydF4y2Ba∣gydF4y2BaYgydF4y2Ba∣gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
以下双射的另一种表征在证明中通常是有用的:gydF4y2Ba
假设gydF4y2Ba
XgydF4y2Ba非空的。然后gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba:gydF4y2BaXgydF4y2Ba→gydF4y2BaYgydF4y2Ba当且仅当有一个函数是双射吗gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba:gydF4y2BaYgydF4y2Ba→gydF4y2BaXgydF4y2Ba这样gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba∘gydF4y2BafgydF4y2Ba身份是在吗gydF4y2Ba
XgydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba∘gydF4y2BaggydF4y2Ba身份是在吗gydF4y2Ba
YgydF4y2Ba;gydF4y2Ba也就是说,gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba(gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BaxgydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BaygydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BaygydF4y2Ba对所有gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba∈gydF4y2BaXgydF4y2Ba,gydF4y2BaygydF4y2Ba∈gydF4y2BaYgydF4y2Ba.gydF4y2Ba当这个发生时,函数gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba被称为gydF4y2Ba逆函数gydF4y2Ba的gydF4y2Ba
fgydF4y2BaAnd也是双射。gydF4y2Ba
说明函数gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba:gydF4y2BaRgydF4y2Ba→gydF4y2BaRgydF4y2Ba定义为gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BaxgydF4y2Ba3.gydF4y2Ba是一个双射。gydF4y2Ba
而不是显示gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba是单射和满射,比较容易定义吗gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba:gydF4y2BaRgydF4y2Ba→gydF4y2BaRgydF4y2Ba通过gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BaxgydF4y2Ba1gydF4y2Ba/gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba为了证明这一点gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba是的倒数gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba.gydF4y2Ba这是恒等式的结论gydF4y2Ba
(gydF4y2BaxgydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)gydF4y2Ba1gydF4y2Ba/gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba=gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba1gydF4y2Ba/gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba=gydF4y2BaxgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
(gydF4y2Ba接下来的问题:同样的证明并不适用于gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BaxgydF4y2Ba2gydF4y2Ba.gydF4y2Ba为什么不呢?gydF4y2Ba
)gydF4y2Ba