代数恒等式

一个代数的身份是对其变量的任何值都成立的等式。

例如，身份 $(x+y)²= x²+ 2xy +y²$的所有值都成立 $x$和 $y$．

由于恒等式对其变量的所有值都成立，因此可以用等式的另一边替换等式的另一边的实例。例如，由于上面的标识，我们可以替换的任何实例 $(x + y) ^ 2$与 $X ^2 + 2xy + y^2$反之亦然。

巧妙地使用恒等式可以使代数更容易操作，从而为许多问题提供了捷径。下面是一些常见的代数恒等式的列表。

下面的等式是乘积公式，是二项式定理：

$\{对齐}开始(x + y) ^ 2 & = x ^ 2 + 2 xy + y ^ 2 \ \ (x - y) ^ 2 & = x ^ 2 - 2 xy + y ^ 2 \ \ (x + y) ^ 3 & y = x ^ 3 + 3 x ^ 2 + 3 xy ^ 2 + y ^ 3 \ \ (x - y) ^ 3 & = x ^ 3-3x y ^ 2 + 3 xy ^ 2 - y ^ 3 \ \ (x + y) ^ 4 & = x ^ 4 + 4 x ^ 3 y 6 x ^ 2 + y ^ 2 + 4 xy ^ 3 + y ^ 4 \ \ (x - y) ^ 4 & y = x ^ 4 - 4 x ^ 3 + 6 x ^ 2 y ^ 2-4xy ^ 3 + y ^ 4。结束\{对齐}$

下面的恒等式是因式分解公式;wiki中列出了更通用的因式分解公式代数操作——恒等式：

$\{对齐}开始x ^ 2 - y ^ 2 & = (x + y) (x - y) \ \ x ^ 3 - y ^ 3 & = (x - y) (x ^ 2 + xy + y ^ 2) \ \ x ^ 3 + y ^ 3 & = (x + y) (x ^ 2 xy + y ^ 2) \ \ x ^ 4 - y ^ 4 & = (x ^ 2 y ^ 2) (x ^ 2 + y ^ 2)。结束\{对齐}$

下面的恒等式可以通过一些巧妙的分解和处理这些术语得到:

$\{对齐}开始(x + y) (x + z) (y + z) & = (x + y + z) (xy + xz + yz) xyz \ \ x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 & = (x + y + z) ^ 2 - 2 (xy + xz + yz) \ \ x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3-3xyz & = (x + y + z) (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2-xy-xz-yz)。结束\{对齐}$

的身份 $4 (x + 7) (2 x - 1) = Ax ^ 2 + Bx + C$对所有的实值都成立 $x$．是什么 $A + B + C ?$

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把等式左边乘出来 $4 (x + 7) (2 x - 1) = 8 x ^ 2 + 52 x-28。$这个表达式必须等于等式的右边，这意味着 $8 x ^ 2 + 52 x-28 = Ax ^ 2 + Bx + C,$所以 $一个= 8$， $B = 52$, $C = -28$, $A + B + C = 8 + 52-28 = 32$． $_ \广场$

如果 $A + B = 8$和 $AB = 13$是什么 $一个^ 3 + 3 ^ ?$

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虽然它是可能解决的 $一个$和 $B$，一个更优雅的解决方案利用身份 $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 +y ^3，$可以写成 $x ^ 3 + y ^ 3 = (x + y) ^ 3-3xy (x + y)。$用在 $一个$和 $B$为 $x$和 $y,$我们得到了 $B \开始{对齐}^ 3 + ^ 3 & = (A + B) ^ 3-3AB (A + B) \ \ & =(8) ^ 3 - 3(13)(8) \ \ & \ \ & = 512 - 312 = 200。\ \ _ \广场结束{对齐}$

下面的等式对所有实数都成立 $x$和 $y:$ $7 x + 4 y + 11 = b (x - 2 y + 1) + (2 x + 3 y + 3) + c。$是什么 $a + b + c ?$

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重写等式 $\{对齐}7日开始x + 4 y + 11 & = b (x - 2 y + 1) + (2 x y + 3 + 3) + c \ \ 7 x + 4 y + 11 & = (a-2b) x + y (2 + 3 b) + (+ 3 b + c)。结束\{对齐}$这给出了以下方程组: $\{对齐}开始a-2b& = 7 \ \ 2 + 3 b = 4 \ \ + 3 b + c = 11。结束\{对齐}$解这个方程组得到 $A =13 b=10 c=-32 \意味着A +b+c=-9。\ _ \广场$

对于所有实数 $x$和 $y$这样 $x - y = 3,$下面的恒等式成立: $axy + bx + cy + 9 = 0。$是什么 $a + b + c ?$

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自 $x - y = 3$意味着 $y = 3,$代入这个等式 $\{对齐}ax开始(3)+ bx + c (3) + 9 & = 0 \ \ ax ^ 2 + (3 + b + c) 3(颈)& = 0。结束\{对齐}$因为这是一个等式 $x,$我们有 $A =0 c=3 b=-3意味着A +b+c=0。\ _ \广场$

如果 $x + y = 12$和 $xy = 35,$是什么 $x y ^ ^ 4 + 4 ?$

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自 $x y ^ ^ 4 + 4 = \大(x ^ 2 + y ^ 2 \大)^ 2-2x ^ 2 y ^ 2$对所有的实值都成立 $x$和 $y,$我们有 $\{对齐}开始x ^ 4 + y ^ 4 & = \大(x ^ 2 + y ^ 2 \大)^ 2-2x ^ 2 y ^ 2 \ \ & = \大((x + y) ^ 2-2xy \大)^ 2 - 2 (xy) ^ 2 \ \ & = (12 ^ 2 - 2 \ cdot35) ^ 2 - 2 \ cdot35 ^ 2 \ \ & \ \ & = 5476 - 2450 = 3026。\ \ _ \广场结束{对齐}$

如果 $a + b + c = 6, a ^ 2 + ^ 2 + c ^ 2 = 14日$和 $公元前ab + + ca = 11,$是什么 $^ 3 ^ 3 + + b c ^ 3-3abc吗?$

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替换 $a + b + c = 6, a ^ 2 + ^ 2 + c ^ 2 = 14日$和 $公元前ab + + ca = 11$的身份 $^ 3 ^ 3 + + b c ^ 3-3abc = (a + b + c) \大(a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2-ab-bc-ca \大),$我们有 $^ 3 ^ 3 + + b c ^ 3-3abc = 6 \ cdot(14-11) = 18。$ $_ \广场$