代数操作的身份

一个身份是一个等式，无论为其变量选择的值如何，该等式都为真。它们用于简化或重新排列代数表达式。根据定义，一个恒等式的两个方面是可以互换的，所以我们可以在任何时候用另一个来替换。例如，身份 $(x+y)²= x²+ 2xy +y²$所有的选择都是正确的吗 $x$和 $y$，它们是实数还是复数。

由于恒等式对其变量的所有有效值都成立，等式的一边可以交换为另一边。例如，我们可以替换的任何实例 $(x + y) ^ 2$与 $X ^2 + 2xy + y^2$反之亦然，因为 $(x+y)²= x²+ 2xy +y²$是一个身份。

巧妙地使用恒等式可以使代数更容易操作，从而为许多问题提供了捷径。下面是一些常见的代数恒等式的列表。

这些恒等式是乘积公式是二项式定理：

$\{对齐}开始(x + y) ^ 2 & = x ^ 2 + 2 xy + y ^ 2 \ \ (x - y) ^ 2 & = x ^ 2 - 2 xy + y ^ 2 \ \ (x + y) ^ 3 & y = x ^ 3 + 3 x ^ 2 + 3 xy ^ 2 + y ^ 3 \ \ (x - y) ^ 3 & = x ^ 3-3x y ^ 2 + 3 xy ^ 2 - y ^ 3 \ \ (x + y) ^ 4 & = x ^ 4 + 4 x ^ 3 y 6 x ^ 2 + y ^ 2 + 4 xy ^ 3 + y ^ 4 \ \ (x - y) ^ 4 & y = x ^ 4 - 4 x ^ 3 + 6 x ^ 2 y ^ 2-4xy ^ 3 + y ^ 4。结束\{对齐}$

这些恒等式是因式分解公式，更一般的形式列在分解页面:

$\{对齐}开始x ^ 2 - y ^ 2 & = (x + y) (x - y) \ \ x ^ 3 - y ^ 3 & = (x - y) \大(x ^ 2 + xy + y ^ 2 \大)\ \ x ^ 3 + y ^ 3 & = (x + y) \大(x ^ 2 xy + y ^ 2 \大)\ \ x ^ 4 - y ^ 4 & = \大(x ^ 2 y ^ 2 \大)、大(x ^ 2 + y ^ 2 \大)。结束\{对齐}$

的身份 $4 (x + 7) (2 x - 1) = Ax ^ 2 + Bx + C$对所有的实值都成立 $x$．是什么 $A + B + C ?$

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把等式左边乘出来

$4 (x + 7) (2 x - 1) = 8 x ^ 2 + 52 x-28。$

这个表达式必须等于等式的右边，所以

$8 x ^ 2 + 52 x-28 = Ax ^ 2 + Bx + C,$

这给了 $一个= 8$， $B = 52$, $C = -28。$

因此, $A + B + C = 8 + 52-28 = 32$． $_ \广场$

如果 $A + B = 8$和 $AB = 13$是什么 $一个^ 3 + 3 ^ ?$

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当你可以解出 $一个$和 $B$，一个更优雅的解决方案利用身份

$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 +y ^3，$

可以写成

$x ^ 3 + y ^ 3 = (x + y) ^ 3-3xy (x + y)。$

用在 $一个$和 $B$为 $x$和 $y,$分别,我们得到

$B \开始{对齐}^ 3 + ^ 3 & = (A + B) ^ 3-3AB (A + B) \ \ & =(8) ^ 3 - 3(13)(8) \ \ & \ \ & = 512 - 312 = 200。\ \ _ \广场结束{对齐}$

分解是将一个表达式分解成其因子的乘积，这是代数中的中心问题之一。以下是常见的因式分解:

1. 对于任何正整数 $n$， $一个^ nb ^ n = (a - b) \左(^ {n} + ^ {2} b + \ cdots + ab ^ {2} + b ^ {n} \右)。$特别是,对 $n = 2$,我们有 $一个^ 2 b ^ 2 = (a - b) (a + b)$．

2. 对于一个正奇数 $n$， $^ n + b ^ n = (a + b)左\ (^ {n} - ^ {2} b + \ cdots - ab ^ {2} + b ^ {n} \右)。$

3. $A ^2 + b^2 = (A \pm b)^2。$

4. $x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 - 3 xyz = (x + y + z) \左(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2-xy-yz-zx \右)。$

5. $(ax + by) ^ 2 + (ay-bx) ^ 2 = \离开(2 ^ 2 + b ^ \) \离开(x ^ 2 + y ^ 2 \) \ \ (ax + by) ^ 2 - (ay + bx) ^ 2 =左\ (^ 2 b ^ 2 \) \离开(x ^ 2 y ^ 2 \右)。$

6. $x ^ 2 + y ^ 2 z + z z ^ 2 x + x ^ 2 + y ^ 2 x + y z ^ 2 + 2 xyz = (x + y) (y + z) (z + x)。$

因式分解通常将表达式转换为一种更易于代数操作的形式，具有易于识别的解，并产生明确定义的关系。

求所有有序正整数解对 $(x, y)$这样 $2^x+ 1 = y^2$．

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我们有 $2^x = y^2-1 = y-1$．自从因素 $(y-1)$和 $(y + 1)$右边是整数乘积都是2的幂 $(y-1)$和 $(y + 1)$一定是2的幂。此外，他们的区别是

$(y + 1) - (y-1) = 2,$

意味着这些因素必须是 $y + 1 = 4$和 $y-1 = 2$．这给了 $y = 3$,因此 $x = 3$．因此, $(3)$是唯一的解决办法。 $_ \广场$

发现因子的一种方法是找到表达式等于零的值，然后应用remainder-factor定理．例如，在上面的表达式(1)中， $A ^n - b^n = 0$为 $a = b$,这意味着 $a - b$是…的一个因素 $一个^ ^ n n - b$．同样，在表达式(2)for中 $n$很奇怪, $A ^n - b^n = 0$为 $一个= - b$,这意味着 $a + b$是…的一个因素 $一个^ ^ n n + b$．一个可以被分解成较小程度乘积的表达式叫做可约；否则，表达式为不可约．

因式分解通常将表达式转换为一种更易于代数操作的形式，这种形式具有易于识别的解，并产生明确定义的关系。

对于任何一个整数 $n$,证明 $F (n)= n^5-5n^3 + 4n$是整除 $120$．

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我们可以因式分解得到

$\{对齐}开始f (n) & = n (n ^ 4 - 5 n ^ 2 + 4) \ \ & = n (n ^ 2 4) (n ^ 2) \ \ & = n (n - 2) (n + 2) (n - 1) (n + 1) \ \ & = (n - 2) (n - 1) n (n + 1) (n + 2)。结束\{对齐}$

对于任意整数 $n$，右边是五个连续整数的乘积。其中一个整数能被5整除，至少有一个整数能被3整除，至少有两个整数能被2整除，其中一个能被4整除。因此, $f (n)$是整除 $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120$． $_ \广场$

多项式因式分解的 $(1 + x + x^2 + cdots + x^n)^2 - x^n$．

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让 $P(x) = 1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1}$．然后我们有

${对齐}\ \开始大(1 + x + x ^ 2 + \ cdots + x ^ n \大)^ 2 - x ^ n & = (P (x) + x ^ n) ^ 2 - x ^ n \ \ & = P (x) ^ 2 + 2 P (x) x ^ n + x ^ {2 n} - x ^ n \ \ & = P (x) ^ 2 + 2 P (x) x ^ n + (x ^ {n} - 1) x ^ n \ \ & = P (x) ^ 2 + 2 P (x) x ^ n + P (x) (x - 1) x ^ n \ \ & = P (x) (P (x) + x ^ n + x ^ {n + 1}) \ \ & = \大(1 + x + x ^ 2 + \ cdots + x ^ {n} \大)\大(1 + x + x ^ 2 + \ cdots + x ^ n + x ^ {n + 1} \大)。\ \ _ \广场结束{对齐}$

多项式因式分解的 $f (a, b, c) = ab \大(^ 2 b ^ 2 \大)+ bc \大(b ^ 2 c ^ 2 \大)+ ca \大(c ^ a ^ 2 \大)。$

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观察,如果 $a = b$,然后 $F (a, a, c) =0$；如果 $b = c$,然后 $f (a, b, b) = 0$；如果 $c =一个$,然后 $f (c、b、c) = 0$．由remainder-factor定理， $(a - b), (c),$和 $(模型)$的因素 $f (a, b, c)$．这允许我们进行因式分解

$f (a, b, c) = - (a - b) (c) (c - a) (a + b + c)。\ _ \广场$