组合游戏:4级挑战练习题在线|精彩

两名玩家按照以下规则进行游戏:

他们在桌子上放了三堆硬币。第一个堆有 $10$ 硬币，第二堆有 $7$ 硬币，第三堆有 $9$ 硬币。
第二个玩家在桌上又加了一堆硬币，最多 $10$ 硬币。
队员们轮流从第一个队员开始。每次移动时，玩家必须从一堆硬币中取出正数的硬币。取出最后一枚硬币的玩家获胜。

结果表明，不管第一个参与人的策略如何，第二个参与人总是以最优策略获胜。第二名玩家应该在第四堆中加入多少硬币?

有 $n$ 海盗 $\左(P_{n}， P_{n-1}， \cdots P_1 \右)$ 具有严格的优越感 $\左(P_{n} > P_{n-1} > \cdots > P_1 \右)$ ．

他们找到了100枚金币。他们要按以下的条例彼此分银子:

幸存的最厉害的海盗提议分配。
海盗们，包括提议者，然后投票决定是否接受这个分配。
如果票数持平，提议者有决定性的一票。
如果分配被接受，硬币被支付，游戏结束。如果不是，提议者被扔出海盗船并死亡(留下 $(n - 1)$ 海盗和他们原来的顺序)，而排名第二的海盗提出了一个新的建议，重新开始游戏。

每个海盗都知道其他海盗是完美的理性的，即:

他们总能推导出一些逻辑上可演绎的东西。
他们的第一选择是生存。
他们的第二个偏好是，他们想要最大化他们收到的硬币数量。
在其他条件不变的情况下，他们宁愿杀死海盗也不愿活捉海盗。

的最小值是多少 $n$ 以至于最高级别的海盗不能提出任何让他活下来的硬币分配?

伊凡而且杰克正在按照以下规则进行游戏:

游戏以一个正整数参数N开始。
伊凡总是先打。
在每个回合中，玩家可以选择将小于N的最大质数加减到N。
失败者是不能继续下去的人。对方默认获胜。

例子

1 2 3 4 5 6

N=10伊凡:N -> N + 7 = 17杰克:N -> N - 13 = 4伊凡:N -> 4 - 3 =1伊凡赢了，因为杰克不能继续比赛。

现在，假设Ivan和Jake知道如何进行最佳游戏。有多少个起始值 $N < 10^4$ 杰克会赢吗?

Mursalin和Trevor决定玩一个游戏，Trevor可以选择任何正整数 $n < 1000$ ．

之后比赛开始。

首先Mursalin命名一个整数 $x$ 从 $1$ 来 $n$ (包容)。然后特雷弗得从 $1$ 来 $n$ 不分裂 $x$ ．然后又轮到穆尔萨林了。在每个回合中，玩家必须从中选择一个整数 $1$ 通过 $n$ [两个都包括在内]没有除到目前为止选中的所有数字。第一个不能在这些约束下命名整数的人失败。假设双方都玩得很好，有多少人 $n$ Mursalin有制胜策略吗?

二人游戏是在一个 $5 \乘5$ 网格。令牌从网格的左下角开始。在每个回合中，玩家可以将标记向右移动一个或两个单位，或者移到它上面一行的最左边的方块。最后一个能够移动的玩家获胜。

Lino和Calvin决定让游戏更有趣，他们不再使用单一的代币，而是使用两个代币，一个红色，一个蓝色，在回合中玩家移动其中一个代币。他们还决定，代币将从棋盘上的随机位置开始。的 $25 \乘25 =625$ 这两个token可能的起始位置，如果第一个玩家打出最佳策略，其中有多少是他的获胜位置?

细节和假设

澄清:在游戏过程中，两个代币在任何时候都可以在同一个方格上。

对于两个令牌都从右上角开始的边缘情况，我们声明第二个玩家获胜。

概念测试

挑战测验

组合游戏:4级挑战