金字塔的体积
的金字塔的体积可以表示为 在哪里 金字塔的基础面积和 是金字塔的高度。参考下图。
一个高10边长12的方形底金字塔的体积是多少?
因为底的面积是 ,金字塔的体积为
在一个操场上,一些孩子在玩耍 用沙子建造金字塔。如果正方形底边的边长为 金字塔的高度是多少?
因为底的面积是 金字塔的体积 是
因此,金字塔的高度为
在上图中,如果金字塔的底部是一个正方形,那么金字塔的体积是多少?
为了得到金字塔的体积,我们需要把金字塔切成两半来求出底座的边长。
上图是金字塔的横截面 而且 因为底的边长等于 哪个长度是它的两倍 我们用勾股定理来计算
因此,基座的边长为 那么金字塔的体积是
在上面的金字塔中找到蓝色部分的体积。
蓝色部分的体积是
因为蓝色部分与顶部小金字塔之间的高度比为 底的边长为 让 那么,就是整个金字塔蓝色部分的体积
积分证明
用微积分推导出金字塔体积的公式。
首先,我们要找到 ,在那里 是金字塔横截面面积的函数。
考虑一下:
让 是固体的高度,并且 一个常数 .同时,让 而且 是稍后用于定义的变量 .
自 ,我们可以设置 ,在那里 是另一个常数。
从上图中可以看出,两个三角形是相似的。求的方程 关于变量 ,我们有 因此,
现在,来了集成部分。
对象的卷为 回想一下, ,这就给出
由于体积是基于横截面的面积,金字塔顶部的点可以在任何地方,这个公式仍然有效。