使用指数衰减来解释幅度减小

考虑受损谐波振荡器的运动方程：

$x（t）= ae ^ { - \ frac {b} {2m} t} e ^ {i \ sqrt {\ frac {k} {m} - \ frac {b ^ 2} {4m ^ 2}} t}+是^ { - \ frac {b} {2m} t} ^ {-i \ sqrt {\ frac {k} {m} - \ frac {b ^ 2} {4m ^ 2}} t}。$

该解决方案描述了指数腐烂信封的信封内的快速振荡。批判性和覆盖的谐波振荡器的幅度同样衰减。

在整个物理和工程文献中使用了几个参数，以描述如何随着时间的推移衰减脉冲振荡器的幅度。最数播放的直接参数是 $1 / E.$衰变时间，经常表示为 $\ Tau$。假设阻尼的谐波振荡器从幅度开始 $X_0.$;然后阻尼包络的幅度是 $x_0 e ^ { - \ frac {b} {2m} t}$。这 $1 / E.$衰减时间定义为时间 $\ Tau$幅度降低了 $x_0 / e \约.368 x_0$。这相当于衰变信封的指数取值 $-1$， IE。：

$- \ frac {b} {2m} \ tau = -1 \意味着\ tau = \ frac {2m} {b}。$

更复杂的参数是质量因素 $问：$：

$q = \ frac {\ text {leasuent storage}} {\ text {每个radian}}}。$

作为一个助记符的理解和记住名称，高质量水晶会在撞击时响起很长一段时间。具有大质量因素的阻尼谐波振荡器被损失并具有缓慢衰减的幅度，反之亦然。临界阻尼发生在 $q = \ frac12$，标志着两个阻尼制度的边界。

抑制谐波振荡器的质量因子是什么？ $公斤ydF4y2Ba$那 $M.$， 和 $B.$还

---

解决方案：

阻尼谐波振荡器中的存储能量是“弹簧势能”： $e（t）= \ frac12 ka（t）^ 2$在哪里 $在）$是谐波振荡器的幅度。回顾阻尼的谐波振荡器有一个 $e ^ { - \ frac {b} {2m} t}$衰变信封，这相当于： $e（t）= \ frac12 k a ^ 2 e ^ { - \ frac {b} {m} t} = e_0 e ^ { - \ frac {b} {m} t}。$

每个弧度消散的能量是： $\ delta e = \ left | \ frac {de} {dt} \右|\ delta t，$和 $\ Delta T.$通过一个弧度振荡所需的时间，等于 $\ frac {1} {\ omega}$。

衍生物是由 $\ frac {de} {dt} = - \ frac {b} {m} e（t）$，所以能量消散是： $\ delta e = \ frac {b} {m \ omega} e，$

最后质量因素是： $q = \ frac {e} {b /（m \ omega）e} = \ frac {m \ omega} {b}，$在哪里 $\ omega = \ sqrt {\ frac {k} {m} - \ frac {b ^ 2} {4m ^ 2}}$是阻尼谐波振荡器的频率。对于高度被泄露的系统， $\ omega \约\ sqrt {\ frac {k} {m}}$和质量因素是 $q \ attum \ frac {\ sqrt {km}} {b}$。由此，很明显，发生临界阻尼 $q = \ frac12$通过平衡两侧并与临界阻尼的标准进行比较。

在用于描述阻尼振荡器中的幅度衰减的工程文献中更常见的最后一项度量是对数递减 $\三角洲$，定义为

挑战问题：表明 $\ delta = \ frac {\ pi} {q}$。

重要的是要注意，粘性阻尼模型是仅针对某些流体中的分子间力的良好模型。这是不是一个好的模特干摩擦， 通常摩擦武力摩擦由等式控制的固体物体 $f_f = \ mu n$， 和 $\亩$摩擦系数和 $N.$正常力量。有趣的是，简单的干摩擦模型是可溶性的并且证明了一个线性阻尼信封而不是指数。