三角方程- R法

的 $R$方法是一种用于求解三角方程形式的技巧

$A \ sinx \pm b\ cosx = c$

通过应用加法公式．

表达 $3\ sinx + 4 \ cosx$在表格中 $R \ sin (x + \α)$．

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我们的目标是解出 $R$而且 $\α$下式中:

$\begin{aligned} 3\ sinx + 4 \ cosx &\equiv R\sin (x+\alpha) \\ &= R\ sinx \cos \alpha + R\cos x \sin \alpha\\\\ \Rightarrow R\cos \alpha &= 3，\quad R\sin \alpha = 4。结束\{对齐}$

取它们的比值等于

$\displaystyle \tan \alpha = \frac{4}{3}\表示\alpha = \arctan \frac{4}{3} = 53^\circ 8'。$

代入的值 $\α$代入前面的方程得到

$R\cos53^\circ 8' = 3\意味着R = 5。$

最后,

$3\ sinx + 4 \ cosx等于5\sin (x+53^\circ 8')。\ _ \广场$

采用最合适的三角加法公式形式会为你省去很多工作。下面的方程说明了最好的情况 $R$方法在不同情况下。

$a\ sinx + b \cos x等于R\sin (x+\alpha)$ $a\ sinx - b \cos x \equiv R\sin (x- alpha)$ $a\ cosx + b \ sinx等于R\cos (x-\alpha)$ $a\ cosx - b \ sinx \equiv R\cos (x+\alpha)$

$R$该方法在求解三角方程和不等式时非常有效。

解方程 $3\ sinx + 4 \ cosx = 1$为 $0\leq x \leq 180^\circ。$

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应用 $R$方法，我们有

$\开始{对齐}3 \ sin (x) + 4 \ cos (x & = 5 \ sin (x + 53 ^ \保监会8’)\ \ 5 \ sin (x + 53 ^ \保监会8’)& = 1 \ \ \ sin (x + 53 ^ \保监会8’)& = \压裂{1}{5}\ \ x + 53 ^ \保监会8 ' & = 168 ^ \保监会28 ' \ \ x & = 115 ^ \保监会20 '。\ _\方形\端{对齐}$

的最大值是多少 $3\ sinx + 4 \ cosx ?$

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因为正弦函数的最大值是 $1$，我们有

$\begin{aligned} 3 \sin x+ 4 \cos x &= 5\sin (x+53^\circ 8') \\ &\leq\ _\方形\端{对齐}$