三角方程-从和到积

乘积和恒等式是将三角函数的和转化为乘积的恒等式。主要的身份是

\ [\ {eqnarray} \因为+ \开始因为b & = 2 \ cos{\离开(\ dfrac {a + b}{2} \右)}\因为{\离开(\ dfrac {a - b}{2} \右)}\ \ \因为罪- \因为b & = & 2 \{\离开(\ dfrac {a + b}{2} \右)}\罪{\离开(\ dfrac {a - b}{2} \右)}\ \ \罪+ \ b & = 2的罪罪\{\离开(\ dfrac {a + b}{2} \右)}\因为{\离开(\ dfrac {a - b}{2} \右)}\ \ \罪,罪\ b & = 2 \ cos{\离开(\ dfrac {a + b}{2} \右)}\罪{\离开(\ dfrac {a - b}{2} \右)}。结束\ {eqnarray} \]

以下相关恒等式将乘积转换为和:

\[开始\{对齐}\罪(a + b) + \罪(a - b) &罪= 2 \ \因为b \ \ \ cos (a + b) + \ cos (a - b) & = 2 \因为\因为b \ \ \ cos (a - b) - \ cos (a + b) & = 2 \罪罪\ b \{对齐}结束\]。

找到范围\([0,2 \pi)\)内的所有\(x\)，使

\[\cos(3x) + \cos(x) = 0.\]

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通过cos的和积恒等式，方程可以写成

\ [0 = \ cos (3 x) + \ cos (x) = \ cos (2 x + x) + \ cos (2 x) = 2 \ cos (2 x) \ cos (x)。\]

因此，我们希望找到\(x\)的值，使\(\cos(2x) = 0\)或\(\cos(x) = 0\)。现在,\ \ cos (x) = 0 \ \ (x \)等于奇怪的倍数\(\压裂{\π}{2}\),因此,解决方案\ (\ cos (2 x) = 0 \ \是(x = \压裂{\π},{4}\压裂{3 \π},{4}\压裂{5 \π},{4}\压裂{7 \π}{4}\)。因此,组解决方案\ (x = \压裂{\π},{4}\压裂{\π}{2}\压裂{3 \π},{4}\压裂{5 \π},{4}\压裂{3 \π}{2},\压裂{7 \π}{4}\)。\ \(_ \广场)

把和\(\sin(5x) + \sin(6x)\)写成三角函数的乘积。

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通过和积公式\(\sin (a-b) + \sin (a+b) = 2\ sina \ cosb，\)我们得到

[\开始{对齐}\罪(5 x) + \罪(6 x) & = \ \的罪离开(\压裂{11 x}{2} - \压裂{x}{2} \右)+ \罪\离开(\压裂{11 x}{2} + \压裂{x}{2} \右)罪\ & = 2 \ \离开(\压裂{11 x}{2} \) \因为\离开(\压裂{x}{2} \右)。广场\(_ \ \)\{对齐}结束)

证明身份\ (\ dfrac {\ cos (3 k) - \ cos (k)} {\ cos (3 k) + \ cos (k)} = - \ tan (2 k) \ tan (k) \)。

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使用上面的第二个恒等式，分子是

\ [\ cos (3 k) -罪\ cos (k) = 2 \{\离开(\ dfrac {3 k + k}{2} \右)}\罪{\离开(\ dfrac {3 k次方}{2}\右)}= 2 \罪(2 k) \罪(k)。\]

使用第一个恒等式，分母可以更改为

\ [\ cos (3 k) + \ cos (k) = 2 \因为{\离开(\ dfrac {3 k + k}{2} \右)}\因为{\离开(\ dfrac {3 k次方}{2}\右)}= 2 \ cos (2 k) \ cos (k)。\]

把分子分母代入

\ [\ dfrac{2 \罪(2 k) \罪(k)} {2 \ cos (2 k) \ cos (k)}。\]

使用恒等式\(\ crac {\sin (a)}{\cos (a)}=\tan (a)，\)，以上可以简化为

\ [\ dfrac {(2)} {2} \ cdot \离开(\ dfrac{\罪(2 k)} {\ cos (2 k)} \) \ cdot \离开(\ dfrac{\罪(k)} {\ cos (k)} \右)= - \ tan (2 k) \ tan (k) \ _ \广场\]。